Baseado no Livro Introdução à termodinâmica da engenharia química (7ª edição), Smith; Van-Ness e Abbott
Um kg de água líquida a 25^{\circ} \mathrm{C} :
Passa por uma variação na elevação \Delta z. A variação na energia potencial \Delta E_{P} é igual à variação \Delta U^{I} na parte (a). Qual é o valor de \Delta z, em metros?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e faz a pergunta abaixo.
  • Temos 1\\ \mathrm{kg} de água líquida à temperatura 25^\circ\mathrm{C}.
  • Esse quilograma de água passa por uma variação de elevação \Delta z.
  • Diz-se que a variação da energia potencial \Delta E_{P} é igual à variação \Delta U^{I} da parte (a).
  • Pergunta: Qual é o valor de \Delta z, em metros?
Informação importante que falta: o enunciado da parte (a) (o valor numérico de \Delta U^{I}) não foi fornecido aqui. Sem o valor numérico de \Delta U^{I} não é possível calcular um número para \Delta z. A resolução a seguir mostra a forma de calcular \Delta z a partir de \Delta U^{I} e explica as unidades e cuidados práticos para usar a fórmula na prova.

Passo 2

Relação entre energia potencial e elevação: a variação de energia potencial gravitacional de um corpo de massa m quando sua elevação muda em \Delta z é dada por
\Delta E_{P} = m\,g\,\Delta z.
Explicando cada símbolo:
  • \Delta E_{P} é a variação da energia potencial (em joules, \mathrm{J}).
  • m é a massa do sistema (em quilogramas, \mathrm{kg}). No enunciado, m=1\\ \mathrm{kg}.
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}); na maioria dos cálculos de prova usamos g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • \Delta z é a variação de elevação (em metros, \mathrm{m}), que é o que queremos achar.
Observação didática: a fórmula vem de E_P = m g z; então a diferença entre duas posições é m g (z_2-z_1)=m g \Delta z. É direto — na prova escreva essa equação e explique o significado das variáveis se pedirem.

Passo 3

Como o enunciado afirma que \Delta E_{P} = \Delta U^{I}, substituímos na equação anterior:
\Delta U^{I} = m\,g\,\Delta z.
Agora isolamos \Delta z:
\Delta z = \frac{\Delta U^{I}}{m\,g}.
Como m=1\\ \mathrm{kg}, isso simplifica para
\Delta z = \frac{\Delta U^{I}}{g}.
Usando o valor de g adotado,
\Delta z = \frac{\Delta U^{I}}{9{,}81}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cuidados com unidades (essencial na prova):
  • \Delta U^{I} deve ser expresso em joules ( \mathrm{J}).
  • Frequentemente em termodinâmica aparece a variação de energia especifica \Delta u^{I} em \mathrm{kJ/kg}. Se a parte (a) deu \Delta u^{I} (valor por quilograma), para este problema com 1\\ \mathrm{kg} temos \Delta U^{I}_{\text{total}} = m\,\Delta u^{I} = 1\cdot\Delta u^{I}. Ainda assim é preciso converter \mathrm{kJ} para \mathrm{J} (multiplicar por 1000). Exemplo de conversão: \Delta u^{I}=10\\ \mathrm{kJ/kg}\Rightarrow \Delta U^{I}=10\cdot1000=10000\\ \mathrm{J}.
  • Depois de ter \Delta U^{I} em \mathrm{J}, aplique a fórmula do passo anterior.

Passo 5

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver o processo):
  • Suponha que a parte (a) desse \Delta U^{I}=10\\ \mathrm{kJ/kg}. Convertemos para joules: \Delta U^{I}=10000\\ \mathrm{J}.
  • Aplicando \Delta z=\dfrac{\Delta U^{I}}{9{,}81} obtemos
\Delta z=\dfrac{10000}{9{,}81}\approx 1019{,}37\\ \mathrm{m}.
Isto é só um exemplo para mostrar como proceder; o valor real depende do \Delta U^{I} dado na parte (a).

Passo 6

Conclusão prática para a prova: escreva a relação \Delta E_{P}=m g \Delta z, iguale a \Delta U^{I} e isole \Delta z. Verifique se a parte (a) fornece \Delta U^{I} como energia total (em \mathrm{J}) ou como energia específica (em \mathrm{kJ/kg}); faça a conversão de unidades antes de substituir na fórmula. Sem o valor numérico de \Delta U^{I} não é possível dar um número para \Delta z.

Resposta

\Delta z=\frac{\Delta U^{I}}{9{,}81}\\ \mathrm{m}

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