Baseado nestas informações:
  1. Calcule o volume do paralelepípedo cujas arestas que incidem num vértice são dados pelos vetores \vec{u}=(1,-2,3), \vec{v}=(1,1,-3), \vec{w}=(2,-1,1) . \mathrm{R}: V=3

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores \vec u=(1,-2,3), \vec v=(1,1,-3) e \vec w=(2,-1,1). Na teoria de vetores, esse volume é dado pelo valor absoluto do produto misto (ou triplo escalar)
V = \bigl|\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)\bigr|\,.
Para resolver, vamos primeiro calcular \vec v\times\vec w, depois o produto escalar com \vec u e, por fim, tomar o valor absoluto.

Passo 2

Calcular o produto vetorial \vec v\times\vec w usando
\vec v\times\vec w = \begin{pmatrix} v_2w_3 - v_3w_2 \\[6pt] v_3w_1 - v_1w_3 \\[6pt] v_1w_2 - v_2w_1 \end{pmatrix} \quad\text{com}\quad \vec v=(1,1,-3),\;\vec w=(2,-1,1).
Fazendo as contas:
\vec v\times\vec w = \begin{pmatrix} 1\cdot1 - (-3)\cdot(-1) \\[4pt] (-3)\cdot2 - 1\cdot1 \\[4pt] 1\cdot(-1) - 1\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 3 \\[3pt] -6 - 1 \\[3pt] -1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\[3pt] -7 \\[3pt] -3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec u\cdot(\vec v\times\vec w) com \vec u=(1,-2,3) e \vec v\times\vec w=(-2,-7,-3):
\vec u\cdot(\vec v\times\vec w) = 1\cdot(-2) + (-2)\cdot(-7) + 3\cdot(-3) = -2 + 14 - 9 = 3.

Passo 4

O volume é o valor absoluto desse resultado:
V = \bigl|\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)\bigr| = |3| = 3.

Resposta

V=3

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