Sejam \vec{u}=(3,4) e \vec{v}=(-4,3). Mostre que estes vetores são ortogonais, mas que não possuem módulo igual a 1. Em seguida, calcule o versor destes vetores. R : B=\left\{\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right),\left(\frac{-4}{5}, \frac{3}{5}\right)\right\}
14. Determine os seguintes vetores:
  • (1,2,3) \times(2,-1,3) \mathrm{R}:(9,3,5)
  • (\vec{i}-\vec{j}+\vec{k}) \times(3 \vec{i}+4 \vec{j}-\vec{k}) \mathrm{R}:(-3,4,7)
  • \vec{w} de módulo 5, ortogonal aos vetores \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}=(1,-1,2) de forma que \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} seja positivamente orientada. Seria possível obter \vec{w} como acima, com \{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\} e \{\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}\} ambos positivamente orientados? R : (5 / 3 \sqrt{3},-5 / 3 \sqrt{3},-5 / 3 \sqrt{3}). Não

Passo 1

Resumindo:
Queremos mostrar que \vec{u}=(3,4) e \vec{v}=(-4,3) são ortogonais mas não têm módulo 1, e então achar os versores (unitários) correspondentes, formando a base
B=\Bigl\{\tfrac{\vec u}{\|\vec u\|},\,\tfrac{\vec v}{\|\vec v\|}\Bigr\}.
Em seguida, calcular os produtos vetoriais (1,2,3)\times(2,-1,3) e (\vec i-\vec j+\vec k)\times(3\vec i+4\vec j-\vec k),
depois encontrar \vec w de módulo 5 ortogonal a \vec u=(1,2,-1), \vec v=(1,-1,2) de modo que \{\vec u,\vec v,\vec w\} seja positivamente orientada, e discutir se trocar \vec u e \vec v manteria essa orientação.

Passo 2

Produto escalar e normas de \vec u e \vec v:
\vec u\cdot\vec v = 3\cdot(-4) + 4\cdot3 = -12 + 12 = 0 \quad\implies\quad \vec u\perp \vec v.
\|\vec u\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, \qquad \|\vec v\| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5,
logo nenhum é unitário.

Passo 3

Dividindo cada um pela sua norma, obtemos os versores
\frac{\vec u}{\|\vec u\|} = \Bigl(\tfrac{3}{5},\,\tfrac{4}{5}\Bigr), \qquad \frac{\vec v}{\|\vec v\|} = \Bigl(-\tfrac{4}{5},\,\tfrac{3}{5}\Bigr).
Portanto
B = \Bigl\{(\tfrac35,\tfrac45),\;(-\tfrac45,\tfrac35)\Bigr\}.

Passo 4

Calcular (1,2,3)\times(2,-1,3) componente a componente:
(1,2,3)\times(2,-1,3) =\Bigl(2\cdot3-3\cdot(-1),\;-\bigl(1\cdot3-3\cdot2\bigr),\;1\cdot(-1)-2\cdot2\Bigr) =(9,3,-5).

Passo 5

Para (\vec i-\vec j+\vec k)\times(3\vec i+4\vec j-\vec k), em coordenadas (1,-1,1)\times(3,4,-1):
(1,-1,1)\times(3,4,-1) =\bigl((-1)\cdot(-1)-1\cdot4,\;-\bigl(1\cdot(-1)-1\cdot3\bigr),\;1\cdot4-(-1)\cdot3\bigr) =(-3,4,7).

Passo 6

Para \vec w, fazemos
\vec u\times\vec v = (1,2,-1)\times(1,-1,2) = (3,-3,-3),
\|\vec u\times\vec v\| = 3\sqrt3,
o versor de \vec u\times\vec v é \tfrac1{\sqrt3}(1,-1,-1), e para ter módulo 5 basta multiplicar por 5:
\vec w = 5\;\frac{\vec u\times\vec v}{\|\vec u\times\vec v\|} =\frac{5}{\sqrt3}\,(1,-1,-1).

Passo 7

A base \{\vec u,\vec v,\vec w\} é positivamente orientada porque \vec u\times\vec v aponta segundo \vec w. Se trocássemos \vec u e \vec v, o produto vetorial mudaria de sinal e a orientação seria invertida. Portanto não é possível que ambas as bases \{\vec u,\vec v,\vec w\} e \{\vec v,\vec u,\vec w\} sejam positivamente orientadas ao mesmo tempo.

Resposta

B=\bigl\{(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}),\;(-\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5})\bigr (1,2,3)\times(2,-1,3)=(9,3,-5) (\vec i-\vec j+\vec k)\times(3\vec i+4\vec j-\vec k)=(-3,4,7) \vec w=\bigl(\tfrac{5}{\sqrt3},-\tfrac{5}{\sqrt3},-\tfrac{5}{\sqrt3}\bigr)
Não.

Exercícios relacionados