Baseado na tabela de integrais indefinidas e nas propriedades estudadas, resolva as seguintes integrais indefinidas:
\int \operatorname{tg}^{2} x \operatorname{cosec}^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{tg}^{2} x \operatorname{cosec}^{2} x\,dx.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
  • A integranda é \operatorname{tg}^{2} x \operatorname{cosec}^{2} x.
  • Quer-se a primitiva (integral indefinida), portanto a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar identidades trigonométricas básicas para simplificar a integranda antes de integrar. Lembre as definições:
\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \operatorname{cosec}x=\frac{1}{\sin x}.
Aplicando essas definições ao quadrado:
\operatorname{tg}^{2}x=\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x},\qquad \operatorname{cosec}^{2}x=\frac{1}{\sin^{2}x}.

Passo 3

Multiplicando as expressões obtidas:
\operatorname{tg}^{2}x\operatorname{cosec}^{2}x = \frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\cdot\frac{1}{\sin^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x}.
Portanto a integranda simplifica-se para
\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 4

Agora restou integrar
\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Uma forma direta de ver a primitiva é lembrar que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x. Para não assumir sem justificar, veja a derivação rápida pela regra do quociente: \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Aplicando (u/v)':
\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} = \frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
Como a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x, segue que uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}x é \tan x.

Passo 5

Portanto
\int \operatorname{tg}^{2}x\,\operatorname{cosec}^{2}x\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x + C,
onde C é a constante de integração. Vai dar tudo certo na prova — simplificar identidades costuma ser a chave para integrais trigonométricas!

Resposta

\tan x + C

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