Baseado no trecho acima, responda:
c) Demonstre que numa órbita
o elétron, no átomo de hidrogênio, terá energia dada por:
eV, com
.
c) Demonstre que numa órbita
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar que, numa órbita
, do átomo de hidrogénio, a energia do electrão é dada por
Informações e hipóteses que vamos usar (todas fornecidas implicitamente pelo modelo de Bohr, que é o modelo adequado aqui):
- Há uma força eléctrica coulombiana de atração entre o protão e o electrão, dada por Coulomb.
- O electrão descreve órbitas circulares em torno do protão e a força centrípeta necessária é providenciada pela força eléctrica.
- A condição de quantização de Bohr: o momento angular do electrão é quantizado segundo
, com inteiro positivo. - Variáveis e constantes que aparecerão:
-
= massa do electrão, -
= carga elementar (módulo da carga do electrão), -
= permissividade do vácuo, -
= constante de Planck, , -
= raio da órbita, -
= velocidade do electrão na órbita, - energia total
com energia cinética e energia potencial eléctrica.
-
A resolução começa a partir destas relações físicas básicas: Coulomb = força centrípeta e quantização do momento angular.
Passo 2
Força eléctrica (Coulomb) e centrípeta — montar a equação fundamental.
A força coulombiana de atração (módulo) entre duas cargas
e
separadas por distância
é
Para o electrão manter-se numa órbita circular de raio
com velocidade
, a força centrípeta necessária é
No equilíbrio (as duas forças são iguais em módulo),
Simplificando um factor
,
Explicação: esta relação liga a velocidade
à posição
devido ao balanço entre atracção eléctrica e força centrípeta.
Passo 3
Condição de quantização de Bohr e obtenção do raio da órbita
.
A condição de Bohr diz que o momento angular é quantizado:
Isolando
obtemos
Agora substituímos essa expressão de
na equação de
obtida no passo anterior:
Multiplicando ambos os lados por
,
Isolando
,
Explicação: este
é a expressão do raio da
-ésima órbita; o factor independente de
,
é chamado raio de Bohr (para
) e vale aproximadamente
.
Passo 4
Energia cinética, energia potencial e energia total em função de
.
Energia cinética do electrão:
Usando a relação do passo 2,
, temos
Energia potencial eléctrica (par protão–electrão, negativa por ser ligação):
Energia total:
Portanto
Explicação: nota que a energia total numa órbita ligada é negativa (sistema ligado) e vale metade, em sinal oposto, da energia potencial.
Passo 5
Substituir
na expressão da energia e simplificar para obter
em termos de constantes e
.
Substituindo
em
,
Simplificando a fração:
Agora usamos
, logo
. Substituindo isto no numerador/denominador:
Portanto a expressão simplifica para
Esta é a forma simbólica geral da energia dos níveis de Bohr.
Passo 6
Avaliar numericamente a constante para obter o valor em electronvolts e concluir.
A constante que multiplica
é o chamado “Rydberg energy”
em joules:
Se plugarmos os valores conhecidos das constantes físicas (aqui apresento os valores numéricos aproximados):
obtemos (fazendo a multiplicação e divisão com cuidado) o valor
Para passar a electronvolts, dividimos por
(1 eV =
):
Arredondando para os dígitos usuais na literatura, obtém‑se
. Portanto
Breve comentário de incentivo: essa derivação inteira vem direto da combinação de Coulomb + centrípeta + quantização do momento angular; segue um caminho algébrico simples quando a gente vai passo a passo.