Uma fonte trifásica ligada em Y com tensäo de fase V_{A, A}=250 alimenta uma carga trifásica desequilibrada ligada em Y com as impedancias Z_{A}=15 \angle 60^{\circ} \Omega, Z_{B}=10 \angle 55^{\circ} \Omega e Z_{C}=12 \angle 45^{\circ} \Omega. Sequência ABC. Determine as correntes de linha e a corrente

Passo 1

O enunciado fornece o seguinte:
\;V_{A,A}=250 (tensão de fase, ou seja tensão fase-neutro de A, magnitude 250 V),
\;Z_{A}=15\angle60^\circ\\ \Omega,
\;Z_{B}=10\angle55^\circ\\ \Omega,
\;Z_{C}=12\angle45^\circ\\ \Omega.
Sequência das fases: ABC.
O que é pedido:
  • Determinar as correntes de linha (ou seja, as correntes nas fases A, B e C).
  • Determinar a corrente do neutro (a soma fasorial das correntes de fase).

Passo 2

Escolha de referencia e interpretação da sequência ABC:
  • Vou tomar a tensão de A como referência com ângulo zero. Para sequência ABC, as tensões de fase (fase para neutro) são então:
V_{AN}=250\angle0^\circ\\ \text{V},
V_{BN}=250\angle-120^\circ\\ \text{V},
V_{CN}=250\angle120^\circ\\ \text{V}.
(Explicação rápida: sequência ABC significa que ao avançar das fases A\to B\to C o ângulo decresce de 120^\circ entre cada uma; escolher A como referência é uma convenção prática.)

Passo 3

Fórmula básica (Ohm fasorial) e cálculo das correntes de fase:
  • Em circuitos fasoriais a corrente de cada fase é dada por
I_{phase}=\frac{V_{phase}}{Z_{phase}}.
Aqui aplicamos para cada fase:
Para A:
I_A=\frac{V_{AN}}{Z_A}=\frac{250\angle0^\circ}{15\angle60^\circ}=\frac{250}{15}\angle(0^\circ-60^\circ)=16{,}6667\angle-60^\circ\\ \text{A}.
Para B:
I_B=\frac{V_{BN}}{Z_B}=\frac{250\angle-120^\circ}{10\angle55^\circ}=\frac{250}{10}\angle(-120^\circ-55^\circ)=25\angle-175^\circ\\ \text{A}.
Para C:
I_C=\frac{V_{CN}}{Z_C}=\frac{250\angle120^\circ}{12\angle45^\circ}=\frac{250}{12}\angle(120^\circ-45^\circ)=20{,}8333\angle75^\circ\\ \text{A}.
(Observação pedagógica: dividir fasores é simples em forma polar — divide-se as magnitudes e subtrai-se os ângulos.)

Passo 4

Relação entre correntes de fase e correntes de linha no arranjo Y:
  • Em carga ligada em Y com neutro comum, a corrente de cada linha é exatamente a corrente de cada fase que lhe corresponde. Ou seja,
I_{linha\\ A}=I_A,\quad I_{linha\\ B}=I_B,\quad I_{linha\\ C}=I_C.
Portanto já temos as correntes de linha em forma polar (obtidas no Passo 3).

Passo 5

Preparação para somar fasorialmente as correntes (conversão para forma retangular):
  • Para somar vetores complexos (correntes) é mais direto em forma retangular. A conversão polar \;r\angle\theta para retangular é
r\angle\theta \longrightarrow r\cos\theta + j\,r\sin\theta.
Convertendo cada corrente (usei \cos e \sin com ângulos em graus):
Para I_A=16{,}6667\angle-60^\circ:
I_A=16{,}6667\cos(-60^\circ)+j\,16{,}6667\sin(-60^\circ)=8{,}3333 - j14{,}4338\\ \text{A}.
Para I_B=25\angle-175^\circ:
I_B=25\cos(-175^\circ)+j\,25\sin(-175^\circ)=-24{,}9049 - j2{,}1789\\ \text{A}.
Para I_C=20{,}8333\angle75^\circ:
I_C=20{,}8333\cos75^\circ + j\,20{,}8333\sin75^\circ=5{,}3921 + j20{,}1239\\ \text{A}.
(Notas: arredondei valores a 4 casas decimais para manter a clareza; em prova arredonde conservadoramente.)

Passo 6

Cálculo da corrente do neutro pela soma fasorial:
  • A corrente no neutro é a soma das correntes de fase (KCL no nó neutro):
I_N=I_A+I_B+I_C.
Somando as partes reais e imaginárias separadamente:
Parte real:
\Re(I_N)=8{,}3333 + (-24{,}9049) + 5{,}3921 = -11{,}1795\\ \text{A}.
Parte imaginária:
\Im(I_N)=-14{,}4338 + (-2{,}1789) + 20{,}1239 = 3{,}5112\\ \text{A}.
Portanto em retangular:
I_N=-11{,}1795 + j\,3{,}5112\\ \text{A}.
Agora convertemos para forma polar para ter magnitude e ângulo:
  • Magnitude:
|I_N|=\sqrt{(-11{,}1795)^2 + (3{,}5112)^2}\approx 11{,}722\\ \text{A}.
  • Ângulo (usando função \operatorname{atan2} para conservar quadrante):
\angle I_N=\operatorname{atan2}(3{,}5112,\,-11{,}1795)\approx 162{,}55^\circ.
Logo
I_N=11{,}722\angle162{,}55^\circ\\ \text{A}.

Passo 7

Resumo e dicas práticas para a prova:
  • Regra rápida: em Y, corrente de fase = tensão de fase / impedância de fase (em polar). Use polar para divisão, retangular para soma.
  • Para achar corrente de neutro, some as três correntes fasorialmente (vetor/complexo). Se as impedâncias fossem iguais e simétricas, I_N seria zero; aqui a assimetria gera corrente no neutro.
  • Em prova, calcule inicialmente em polar, converta só para retangular quando for somar, e volte para polar se quiser o módulo/ângulo final.

Resposta

\;I_A=16{,}6667\angle-60^\circ\\ \text{A}\\ =\\\ 8{,}3333 - j\,14{,}4338\\ \text{A}\n
\;I_B=25\angle-175^\circ\\ \text{A}\\ =\\\ -24{,}9049 - j\,2{,}1789\\ \text{A}\n
\;I_C=20{,}8333\angle75^\circ\\ \text{A}\\ =\\\ 5{,}3921 + j\,20{,}1239\\ \text{A}\n
\;I_N=11{,}722\angle162{,}55^\circ\\ \text{A}\\ =\\\ -11{,}1795 + j\,3{,}5112\\ \text{A}

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