Problema 02: Dadas as funções de transferência abaixo, encontre a forma padrão e trace os seus respectivos diagramas de Bode de magnitude e fase.
\begin{array}{rlr} G(s)=\frac{10}{s(0,1 s+1)} & G(s)=\frac{(s+1)}{(s+2)(s+3)} \\\ \boldsymbol{H}(\boldsymbol{s})=\frac{\mathbf{2 0 0 s}}{(\boldsymbol{s}+\mathbf{2})(\boldsymbol{s}+\mathbf{1 0})} & \mathbf{H}(\omega)=\frac{j \omega+10}{j \omega(j \omega+5)^{2}} \end{array}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para cada função dada: (i) escrever a forma padrão (ou seja, fatorada em ganhos, polos e zeros normalizados como 1+s/\omega ou termos s quando for integrador/diferenciador) e (ii) traçar (descrever) os diagramas de Bode de magnitude e de fase. As funções dadas são (copiadas exatamente do enunciado):
G(s)=\frac{10}{s(0,1 s+1)}
G(s)=\frac{(s+1)}{(s+2)(s+3)}
\boldsymbol{H}(\boldsymbol{s})=\frac{\mathbf{2 0 0 s}}{(\boldsymbol{s}+\mathbf{2})(\boldsymbol{s}+\mathbf{1 0})}
\mathbf{H}(\omega)=\frac{j \omega+10}{j \omega(j \omega+5)^{2}}
Informações relevantes extraídas do enunciado (vou anotar para não perder): na primeira função o termo 0,1 s+1 significa 0{,}1 s + 1 (ou seja, 0{,}1=1/10). Na última função o enunciado já dá H(\omega) em termos de j\omega; isso corresponde à mesma expressão com s=j\omega, logo podemos tratar como H(s)=\dfrac{s+10}{s(s+5)^2}. Nenhuma figura adicional foi fornecida.

Passo 2

Breve revisão didática (ferramentas que vou usar passo a passo para desenhar o Bode):
  • Forma padrão: escrevemos a função como um ganho K multiplicado por fatores do tipo (1+s/\omega_z) para zeros e 1/(1+s/\omega_p) para polos, além de fatores puros s (zero na origem) ou 1/s (polo na origem).
  • Magnitude em dB: para G(j\omega), 20\log_{10}|G(j\omega)|é somatório (adição) das contribuições em dB de cada fator (ganho K em dB mais contribuição dos zeros/polos).
  • Regras de inclinação (asintóticas):
    • zero simples (fator (1+s/\omega_z)) aumenta a inclinação em +20 dB/dec a partir de \omega=\omega_z;
    • polo simples (fator 1/(1+s/\omega_p)) diminui -20 dB/dec a partir de \omega=\omega_p;
    • integrador 1/s é -20 dB/dec para toda a faixa (fase -90^\circ); diferenciador s é +20 dB/dec (fase +90^\circ).
  • Fase: soma das fases parciais; para um fator (1+j\omega/\omega_n) a fase é \arctan(\omega/\omega_n); para 1/(1+j\omega/\omega_n) é -\arctan(\omega/\omega_n). Para integrador 1/j\omega a fase é -90^\circ; para zero de origem j\omega a fase é +90^\circ.
  • A aproximação padrão para transições de fase: cada polo/zero simples muda a fase aproximadamente entre uma década abaixo e uma década acima de \omega_n, com valor \pm 45^\circ em \omega=\omega_n.
  • Fórmulas úteis (magnitude e fase de fatores): |1+j\omega/\omega_n|=\sqrt{1+(\omega/\omega_n)^2},\qquad \angle(1+j\omega/\omega_n)=\arctan(\omega/\omega_n).Em dB: 20\log_{10}\sqrt{1+(\omega/\omega_n)^2}=10\log_{10}\bigl(1+(\omega/\omega_n)^2\bigr).
Vou aplicar essas regras a cada função, mostrando como obter a forma padrão, os polos/zeros e como montar o Bode (inclinações, frequências de quebra, valores de referência e fases em pontos-chave).

Passo 3

Função 1: \displaystyle G(s)=\frac{10}{s(0{,}1 s+1)}.
  1. Colocar na forma padrão: note que 0{,}1 s+1 = 1 + 0{,}1 s = 1 + s/10. Então
G(s)=\frac{10}{s(1+s/10)}.
Podemos escrever explicitamente o ganho e fatores:
G(s)=10\cdot\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{1+s/10}.
Polos/zeros e frequências de quebra:
  • polo na origem (integrador): \omega=0 (contribuição de -20 dB/dec e fase -90^\circ);
  • polo em s=-10 (polo real) com \omega_p=10 rad/s (contribuição adicional de -20 dB/dec a partir de \omega=10 e fase de -\arctan(\omega/10)).
  1. Expressões exatas (para cálculo numérico):
|G(j\omega)| = \frac{10}{\omega\sqrt{1+(\omega/10)^2}}, \qquad \angle G(j\omega) = -90^\circ -\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right).
Em dB:
20\log_{10}|G(j\omega)| = 20\log_{10}10 -20\log_{10}\omega -10\log_{10}\bigl(1+(\omega/10)^2\bigr).
  1. Asintotas para o diagrama de magnitude:
  • para \omega\ll 10: o termo \sqrt{1+(\omega/10)^2}\approx 1, então |G|\approx 10/\omega → em dB: começa com nível dependente de \omega com inclinação -20 dB/dec (integrador).
  • para \omega\gg 10: o segundo fator dá mais -20 dB/dec; total -40 dB/dec depois de \omega=10.
  1. Valores numéricos de referência (úteis para o esboço):
  • ganho estático fictício em termos de comportamento: 20\log_{10}10=20 dB (constante de multiplicação).
  • em \omega=1 rad/s: |G(j1)|\approx\frac{10}{1\sqrt{1+0{,}01}} \approx 9{,}95 \quad(\approx 19{,}95\\ \text{dB}), \angle G(j1)\approx -90^\circ - \arctan(0{,}1)\approx -95{,}7^\circ.
  • em \omega=10 rad/s: |G(j10)|=\frac{10}{10\sqrt{2}}=0{,}7071\quad(\approx -3{,}01\\ \text{dB}), \angle G(j10)=-90^\circ -45^\circ = -135^\circ.
  • em \omega=100 rad/s: |G(j100)|\approx 0{,}00995\quad(\approx -40{,}04\\ \text{dB}), \angle G(j100)\approx -90^\circ -84{,}3^\circ = -174{,}3^\circ.
  1. Descrição do Bode (como desenhar):
  • Magnitude: começa com inclinação -20 dB/dec (integrador), passa por quebra em \omega=10 e a partir daí a inclinação é -40 dB/dec.
  • Fase: tende a -90^\circ para \omega\ll 10, atravessa -135^\circ em \omega=10 e tende a -180^\circ para \omega\gg 10.

Passo 4

Função 2: \displaystyle G(s)=\frac{s+1}{(s+2)(s+3)}.
  1. Forma padrão: fatoramos constantes nos denominadores:
s+1 = 1\cdot(1+s/1),\quad s+2=2\cdot(1+s/2),\quad s+3=3\cdot(1+s/3).
Logo
G(s)=\frac{1+s/1}{2\cdot 3\,(1+s/2)(1+s/3)}=\frac{1}{6}\cdot\frac{1+s/1}{(1+s/2)(1+s/3)}.
Portanto K=\dfrac{1}{6}.
Polos/zeros e frequências de quebra:
  • zero real em \omega_z=1 rad/s;
  • polos em \omega_{p1}=2 e \omega_{p2}=3 rad/s.
  1. Expressões exatas:
|G(j\omega)|=\frac{1}{6}\cdot\frac{\sqrt{1+(\omega/1)^2}}{\sqrt{1+(\omega/2)^2}\sqrt{1+(\omega/3)^2}},
\angle G(j\omega)=\arctan(\omega/1)-\arctan(\omega/2)-\arctan(\omega/3).
  1. Asintotas de magnitude:
  • para \omega\ll 1: comportamento constante com ganho 20\log_{10}(1/6)\approx -15{,}56 dB (todas as partes próximas de 1);
  • para 1<\omega<2: o zero em 1 adiciona +20 dB/dec;
  • para 2<\omega<3: o zero (+20) e o polo em 2 (-20) se cancelam na inclinação → inclinação aproximadamente 0 dB/dec;
  • para \omega>3: inclinação final +20-20-20=-20 dB/dec.
  1. Valores numéricos de referência:
  • ganho a baixa frequência \omega\to 0: 20\log_{10}(1/6)\approx -15{,}56 dB.
  • em \omega=1: |G(j1)|\approx\frac{\sqrt{2}}{( \sqrt{5}\sqrt{10})}\approx\frac{1{,}414}{7{,}07}=0{,}2\quad(\approx -13{,}98\\ \text{dB}), \angle G(j1)=45^\circ-26{,}565^\circ-18{,}435^\circ\approx 0^\circ (observação útil: fase passa por zero próximo a \omega=1).
  • em \omega=10: \angle G(j10)\approx \arctan 10 -\arctan 5 -\arctan(10/3)\approx 84{,}29^\circ -78{,}69^\circ -73{,}30^\circ \approx -67{,}7^\circ.
  1. Descrição do Bode:
  • Magnitude: nível inicial \approx -15{,}6 dB; sobe com +20 dB/dec depois de \omega=1; estabiliza (pendente 0) após \omega=2 até \omega=3; depois decai a -20 dB/dec para \omega>3.
  • Fase: soma das três arctan; tem mudança positiva por conta do zero em 1 e negativas nas duas quebras em 2 e 3; passa por aproximadamente 0^\circ perto de \omega=1.

Passo 5

Função 3: \displaystyle H(s)=\frac{200\,s}{(s+2)(s+10)} (interpretei o enunciado bold como 200s/(s+2)(s+10)).
  1. Forma padrão: fatorando constantes nos denominadores:
s+2=2(1+s/2),\quad s+10=10(1+s/10).
Logo
H(s)=\frac{200\,s}{2\cdot 10\,(1+s/2)(1+s/10)}=\;10\cdot\frac{s}{(1+s/2)(1+s/10)}.
Portanto K=10 e há um zero na origem (fator s) e dois polos simples com \omega_{p1}=2 e \omega_{p2}=10.
  1. Expressões exatas:
|H(j\omega)| = 10\cdot\frac{\omega}{\sqrt{1+(\omega/2)^2}\sqrt{1+(\omega/10)^2}},
\angle H(j\omega) = +90^\circ -\arctan(\omega/2)-\arctan(\omega/10).
  1. Asintotas de magnitude:
  • para \omega muito pequeno (próximo de 0): o zero na origem domina → comportamento \propto \omega, inclinação +20 dB/dec;
  • após \omega=2 aparece o primeiro polo e a inclinação passa a +20-20=0 dB/dec;
  • após \omega=10 aparece o segundo polo e a inclinação final torna-se +20-20-20=-20 dB/dec.
  1. Valores numéricos de referência:
  • em \omega=1: |H(j1)| \approx 10\cdot\frac{1}{\sqrt{1+0{,}25}\sqrt{1+0{,}01}} \approx 8{,}89\quad(\approx 18{,}98\\ \text{dB}), \angle H(j1)\approx 90^\circ -26{,}565^\circ -5{,}71^\circ \approx 57{,}7^\circ.
  • em \omega=2: |H(j2)|\approx 13{,}86\quad(\approx 22{,}83\\ \text{dB}), \angle H(j2)\approx 90^\circ -45^\circ -11{,}31^\circ \approx 33{,}7^\circ.
  • em \omega=10: |H(j10)|\approx 13{,}86\quad(\approx 22{,}83\\ \text{dB}), \angle H(j10)\approx 90^\circ -78{,}69^\circ -45^\circ \approx -33{,}69^\circ.
  1. Descrição do Bode:
  • Magnitude: sobe com +20 dB/dec até \omega\approx 2, fica aproximadamente plana entre 2 e 10, e decai com -20 dB/dec para \omega>10.
  • Fase: inicia próxima de +90^\circ para \omega\ll 2, diminui passando por cerca de +45^\circ em torno de \omega entre as quebras e chega para frequências altas a um valor próximo de +90^\circ-90^\circ-90^\circ=-90^\circ (na prática tende para -90^\circ quando ambos os polos dominam suficientemente).

Passo 6

Função 4: \displaystyle H(\omega)=\frac{j\omega+10}{j\omega(j\omega+5)^2}. Interpretação: isto equivale à função em s
H(s)=\frac{s+10}{s(s+5)^2}.
  1. Forma padrão: fatorando constantes:
s+10=10(1+s/10),\quad (s+5)^2 = 5^2(1+s/5)^2 =25(1+s/5)^2.
Portanto
H(s)=\frac{10(1+s/10)}{s\cdot 25(1+s/5)^2} = 0{,}4\cdot\frac{1+s/10}{s(1+s/5)^2}.
Assim K=0{,}4. Polos/zeros e frequências:
  • polo na origem (integrador) \Rightarrow contribuição -20 dB/dec e fase -90^\circ;
  • polo duplo em \omega_p=5 (ordem 2) \Rightarrow contribui -40 dB/dec a partir de \omega=5 e fase total -2\arctan(\omega/5);
  • zero em \omega_z=10 (fator 1+s/10) \Rightarrow contribui +20 dB/dec a partir de \omega=10 e fase +\arctan(\omega/10).
  1. Expressões exatas:
|H(j\omega)| = 0{,}4\cdot\frac{\sqrt{1+(\omega/10)^2}}{\omega\bigl(1+(\omega/5)^2\bigr)},
\angle H(j\omega) = \arctan(\omega/10) -90^\circ -2\arctan(\omega/5).
  1. Asintotas de magnitude:
  • \omega\ll 5: apenas integrador domina → inclinação -20 dB/dec;
  • \omega entre 5 e 10: integrador -20 e polos duplos -40 totalizando -60 dB/dec;
  • \omega>10: soma das inclinações dá -60+20 = -40 dB/dec (pois o zero em 10 acrescenta +20).
  1. Valores numéricos de referência:
  • ganho fixo 20\log_{10}(0{,}4)\approx -7{,}96 dB (constante multiplicativa).
  • em \omega=1: |H(j1)|\approx 0{,}4\cdot\frac{\sqrt{1+0{,}01}}{1\cdot(1+0{,}04)}\approx 0{,}387\quad(\approx -8{,}24\\ \text{dB}), \angle H(j1)\approx \arctan(0{,}1)-90^\circ -2\arctan(0{,}2)\approx 5{,}71^\circ -90^\circ -22{,}62^\circ \approx -106{,}9^\circ.
  • em \omega=5: |H(j5)|\approx 0{,}4\cdot\frac{\sqrt{1+0{,}25}}{5\cdot(1+1)}=\frac{0{,}4\cdot 1{,}118}{10}\approx 0{,}04472\quad(\approx -26{,}98\\ \text{dB}), \angle H(j5)\approx \arctan(0{,}5)-90^\circ -2\arctan(1)\approx 26{,}565^\circ -90^\circ -90^\circ \approx -153{,}44^\circ.
  • em \omega=10: |H(j10)|\approx 0{,}4\cdot\frac{\sqrt{2}}{10\cdot(1+4)}=\frac{0{,}4\cdot 1{,}414}{50}\approx 0{,}01131\quad(\approx -38{,}93\\ \text{dB}), \angle H(j10)\approx 45^\circ -90^\circ -2\cdot 63{,}435^\circ \approx -171{,}87^\circ.
  1. Descrição do Bode:
  • Magnitude: decai -20 dB/dec até \omega\approx 5, depois decai mais rápido -60 dB/dec entre 5 e 10, e a partir de 10 atenua menos rapidamente com -40 dB/dec.
  • Fase: começa perto de -90^\circ (por integrador), cai fortemente em torno de \omega=5 por causa do polo duplo, e a presença do zero em 10 reduz um pouco a tendencia negativa (fase sobe levemente em relação à rampa anterior), com valores numéricos dados acima para pontos-chave.

Resposta

G(s)=\dfrac{10}{s(0{,}1s+1)} = 10\cdot \dfrac{1}{s}\cdot\dfrac{1}{1+s/10}. Breaks: \omega=10 (polo), polo na origem. Magnitude asintótica: -20 dB/dec antes de \omega=10, -40 dB/dec depois. Fórmulas exatas: |G(j\omega)|=\dfrac{10}{\omega\sqrt{1+(\omega/10)^2}}, \angle G(j\omega)=-90^\circ-\arctan(\omega/10). Exemplos: |G(j1)|\approx 19{,}95 dB, \angle\approx -95{,}7^\circ; |G(j10)|\approx -3{,}01 dB, \angle=-135^\circ.
G(s)=\dfrac{s+1}{(s+2)(s+3)}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1+s/1}{(1+s/2)(1+s/3)}. Breaks: zero \omega=1, polos \omega=2,3. Magnitude asintótica: 0 dB/dec para \omega\ll1 (constante \approx-15{,}56 dB), +20 dB/dec entre 1 e 2, 0 dB/dec entre 2 e 3, -20 dB/dec para \omega>3. Fórmulas: |G(j\omega)|=\dfrac{1}{6}\dfrac{\sqrt{1+(\omega/1)^2}}{\sqrt{1+(\omega/2)^2}\sqrt{1+(\omega/3)^2}}, \angle G(j\omega)=\arctan(\omega)-\arctan(\omega/2)-\arctan(\omega/3). Ex.: |G(j1)|\approx -13{,}98 dB, \angle\approx 0^\circ.
H(s)=\dfrac{200s}{(s+2)(s+10)}=10\cdot\dfrac{s}{(1+s/2)(1+s/10)}. Breaks: zero de origem, polos \omega=2,10. Magnitude asintótica: +20 dB/dec até \omega=2, 0 dB/dec entre 2 e 10, -20 dB/dec para \omega>10. Fórmulas: |H(j\omega)|=10\cdot\dfrac{\omega}{\sqrt{1+(\omega/2)^2}\sqrt{1+(\omega/10)^2}}, \angle H(j\omega)=90^\circ-\arctan(\omega/2)-\arctan(\omega/10). Ex.: |H(j1)|\approx 18{,}98 dB, \angle\approx 57{,}7^\circ; |H(j10)|\approx 22{,}83 dB, \angle\approx -33{,}7^\circ.
H(s)=\dfrac{s+10}{s(s+5)^2}=0{,}4\cdot\dfrac{1+s/10}{s(1+s/5)^2}. Breaks: polo na origem, polos duplos \omega=5, zero \omega=10. Magnitude asintótica: -20 dB/dec para \omega\ll5, -60 dB/dec entre 5 e 10 (pela dupla), e -40 dB/dec para \omega>10 (após o zero). Fórmulas: |H(j\omega)|=0{,}4\cdot\dfrac{\sqrt{1+(\omega/10)^2}}{\omega(1+(\omega/5)^2)}, \angle H(j\omega)=\arctan(\omega/10)-90^\circ-2\arctan(\omega/5). Ex.: |H(j1)|\approx -8{,}24 dB, \angle\approx -106{,}9^\circ; |H(j5)|\approx -26{,}98 dB, \angle\approx -153{,}4^\circ.

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