Problema 02: Dadas as funções de transferência abaixo, encontre a forma padrão e trace os seus respectivos diagramas de Bode de magnitude e fase.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para cada função dada: (i) escrever a forma padrão (ou seja, fatorada em ganhos, polos e zeros normalizados como
ou termos
quando for integrador/diferenciador) e (ii) traçar (descrever) os diagramas de Bode de magnitude e de fase. As funções dadas são (copiadas exatamente do enunciado):
Informações relevantes extraídas do enunciado (vou anotar para não perder): na primeira função o termo
significa
(ou seja,
). Na última função o enunciado já dá
em termos de
; isso corresponde à mesma expressão com
, logo podemos tratar como
. Nenhuma figura adicional foi fornecida.
Passo 2
Breve revisão didática (ferramentas que vou usar passo a passo para desenhar o Bode):
- Forma padrão: escrevemos a função como um ganho
multiplicado por fatores do tipo para zeros e para polos, além de fatores puros (zero na origem) ou (polo na origem). - Magnitude em dB: para
, é somatório (adição) das contribuições em dB de cada fator (ganho em dB mais contribuição dos zeros/polos). - Regras de inclinação (asintóticas):
- zero simples (fator
) aumenta a inclinação em dB/dec a partir de ; - polo simples (fator
) diminui dB/dec a partir de ; - integrador
é dB/dec para toda a faixa (fase ); diferenciador é dB/dec (fase ).
- zero simples (fator
- Fase: soma das fases parciais; para um fator
a fase é ; para é . Para integrador a fase é ; para zero de origem a fase é . - A aproximação padrão para transições de fase: cada polo/zero simples muda a fase aproximadamente entre uma década abaixo e uma década acima de
, com valor em . - Fórmulas úteis (magnitude e fase de fatores):
Em dB: .
Vou aplicar essas regras a cada função, mostrando como obter a forma padrão, os polos/zeros e como montar o Bode (inclinações, frequências de quebra, valores de referência e fases em pontos-chave).
Passo 3
Função 1:
.
- Colocar na forma padrão: note que
. Então
Podemos escrever explicitamente o ganho e fatores:
Polos/zeros e frequências de quebra:
- polo na origem (integrador):
(contribuição de dB/dec e fase ); - polo em
(polo real) com rad/s (contribuição adicional de dB/dec a partir de e fase de ).
- Expressões exatas (para cálculo numérico):
Em dB:
- Asintotas para o diagrama de magnitude:
- para
: o termo , então → em dB: começa com nível dependente de com inclinação dB/dec (integrador). - para
: o segundo fator dá mais dB/dec; total dB/dec depois de .
- Valores numéricos de referência (úteis para o esboço):
- ganho estático fictício em termos de comportamento:
dB (constante de multiplicação). - em
rad/s: . - em
rad/s: . - em
rad/s: .
- Descrição do Bode (como desenhar):
- Magnitude: começa com inclinação
dB/dec (integrador), passa por quebra em e a partir daí a inclinação é dB/dec. - Fase: tende a
para , atravessa em e tende a para .
Passo 4
Função 2:
.
- Forma padrão: fatoramos constantes nos denominadores:
Logo
Portanto
.
Polos/zeros e frequências de quebra:
- zero real em
rad/s; - polos em
e rad/s.
- Expressões exatas:
- Asintotas de magnitude:
- para
: comportamento constante com ganho dB (todas as partes próximas de 1); - para
: o zero em 1 adiciona dB/dec; - para
: o zero (+20) e o polo em 2 (-20) se cancelam na inclinação → inclinação aproximadamente dB/dec; - para
: inclinação final dB/dec.
- Valores numéricos de referência:
- ganho a baixa frequência
: dB. - em
: (observação útil: fase passa por zero próximo a ). - em
:
- Descrição do Bode:
- Magnitude: nível inicial
dB; sobe com dB/dec depois de ; estabiliza (pendente 0) após até ; depois decai a dB/dec para . - Fase: soma das três arctan; tem mudança positiva por conta do zero em
e negativas nas duas quebras em e ; passa por aproximadamente perto de .
Passo 5
Função 3:
(interpretei o enunciado bold como
).
- Forma padrão: fatorando constantes nos denominadores:
Logo
Portanto
e há um zero na origem (fator
) e dois polos simples com
e
.
- Expressões exatas:
- Asintotas de magnitude:
- para
muito pequeno (próximo de 0): o zero na origem domina → comportamento , inclinação dB/dec; - após
aparece o primeiro polo e a inclinação passa a dB/dec; - após
aparece o segundo polo e a inclinação final torna-se dB/dec.
- Valores numéricos de referência:
- em
: - em
: - em
:
- Descrição do Bode:
- Magnitude: sobe com
dB/dec até , fica aproximadamente plana entre e , e decai com dB/dec para . - Fase: inicia próxima de
para , diminui passando por cerca de em torno de entre as quebras e chega para frequências altas a um valor próximo de (na prática tende para quando ambos os polos dominam suficientemente).
Passo 6
Função 4:
. Interpretação: isto equivale à função em
- Forma padrão: fatorando constantes:
Portanto
Assim
. Polos/zeros e frequências:
- polo na origem (integrador)
contribuição dB/dec e fase ; - polo duplo em
(ordem 2) contribui dB/dec a partir de e fase total ; - zero em
(fator ) contribui dB/dec a partir de e fase .
- Expressões exatas:
- Asintotas de magnitude:
-
: apenas integrador domina → inclinação dB/dec; -
entre e : integrador e polos duplos totalizando dB/dec; -
: soma das inclinações dá dB/dec (pois o zero em 10 acrescenta ).
- Valores numéricos de referência:
- ganho fixo
dB (constante multiplicativa). - em
: - em
: - em
:
- Descrição do Bode:
- Magnitude: decai
dB/dec até , depois decai mais rápido dB/dec entre e , e a partir de atenua menos rapidamente com dB/dec. - Fase: começa perto de
(por integrador), cai fortemente em torno de por causa do polo duplo, e a presença do zero em reduz um pouco a tendencia negativa (fase sobe levemente em relação à rampa anterior), com valores numéricos dados acima para pontos-chave.