Baseando-se na equação que dá a quantização da magnitude do momento angular em termos de um número quântico inteiro
, escreva uma expressão que expresse a separação entre os dois níveis mais baixos de energia cinética rotacional de uma molécula. Marque a resposta que melhor represente essa expressão.
Nenhuma das respostas
Passo 1
O enunciado pede a separação entre os dois níveis mais baixos da energia cinética rotacional de uma molécula, usando a quantização do módulo do momento angular em termos de um número quântico inteiro
.
Informações relevantes que temos (explicitadas):
Informações relevantes que temos (explicitadas):
- O número quântico inteiro é
, com valores . - A constante reduzida de Planck é
. - O momento de inércia da molécula (rigid rotor) é
. - Os “dois níveis mais baixos” significam os níveis com
e .
A tarefa: obter uma expressão para, a diferença entre as energias rotacionais correspondentes a e .
Passo 2
Relembre a fórmula clássica (e quanticamente válida para os autovalores) da energia cinética rotacional de um rotor rígido:
Aqui:
é a energia cinética rotacional,
é o módulo do momento angular e
é o momento de inércia. Essa fórmula vem da expressão
com
, mas para nossa conta usamos diretamente
.
Passo 3
A quantização do módulo do momento angular para um rotor rígido diz que os autovalores de
são
onde
é o número quântico inteiro já mencionado. Isso significa que o momento angular não pode assumir qualquer valor contínuo, e sim valores fixos dados por essa fórmula.
Passo 4
Substituindo a quantização de
na expressão da energia rotacional obtemos os autovalores da energia:
Aqui
é a energia rotacional associada ao nível com número quântico
.
Passo 5
Calcule a energia do nível mais baixo,
:
Ou seja, o nível fundamental rotacional tem energia zero nesta formulação (sem energia de zero-point rotacional além disso).
Passo 6
Calcule a energia do próximo nível,
:
Mostrei passo a passo:
, que cancela o
do denominador.
Passo 7
A separação entre os dois níveis mais baixos é
Portanto a expressão procurada é
.