Baseando-se na equação que dá a quantização da magnitude do momento angular em termos de um número quântico inteiro l, escreva uma expressão que expresse a separação entre os dois níveis mais baixos de energia cinética rotacional de uma molécula. Marque a resposta que melhor represente essa expressão.
\bigcirc \Delta K_{\mathrm{rot}}=\hbar \omega / 2
\bigcirc \Delta K_{\mathrm{rot}}=\hbar \omega
\bigcirc \Delta K_{\text {rot }}=L \omega / 2
\bigcirc \Delta K_{\text {rot }}=L \omega
\bigcirc \Delta K_{\mathrm{rot}}=\hbar L /(2 I)
\bigcirc \Delta K_{\mathrm{rot}}=\hbar L / /
\bigcirc \Delta K_{\mathrm{rot}}=\hbar^{2} /(2 I)
\bigcirc \Delta K_{\mathrm{rot}}=\hbar^{2} / I
\bigcirc Nenhuma das respostas

Passo 1

O enunciado pede a separação entre os dois níveis mais baixos da energia cinética rotacional de uma molécula, usando a quantização do módulo do momento angular em termos de um número quântico inteiro l.
Informações relevantes que temos (explicitadas):
  • O número quântico inteiro é l, com valores l=0,1,2,\dots.
  • A constante reduzida de Planck é \hbar.
  • O momento de inércia da molécula (rigid rotor) é I.
  • Os “dois níveis mais baixos” significam os níveis com l=0 e l=1.
    A tarefa: obter uma expressão para \Delta K_{\mathrm{rot}}, a diferença entre as energias rotacionais correspondentes a l=1 e l=0.

Passo 2

Relembre a fórmula clássica (e quanticamente válida para os autovalores) da energia cinética rotacional de um rotor rígido:
K=\frac{L^{2}}{2I}
Aqui: K é a energia cinética rotacional, L é o módulo do momento angular e I é o momento de inércia. Essa fórmula vem da expressão \tfrac{1}{2}I\omega^{2} com \omega=L/I, mas para nossa conta usamos diretamente K=L^{2}/(2I).

Passo 3

A quantização do módulo do momento angular para um rotor rígido diz que os autovalores de L^{2} são
L^{2}=\hbar^{2}\,l(l+1),
onde l é o número quântico inteiro já mencionado. Isso significa que o momento angular não pode assumir qualquer valor contínuo, e sim valores fixos dados por essa fórmula.

Passo 4

Substituindo a quantização de L^{2} na expressão da energia rotacional obtemos os autovalores da energia:
K_{l}=\frac{\hbar^{2}\,l(l+1)}{2I}.
Aqui K_{l} é a energia rotacional associada ao nível com número quântico l.

Passo 5

Calcule a energia do nível mais baixo, l=0:
K_{0}=\frac{\hbar^{2}\cdot 0\cdot(0+1)}{2I}=0.
Ou seja, o nível fundamental rotacional tem energia zero nesta formulação (sem energia de zero-point rotacional além disso).

Passo 6

Calcule a energia do próximo nível, l=1:
K_{1}=\frac{\hbar^{2}\cdot 1\cdot(1+1)}{2I}=\frac{\hbar^{2}\cdot 2}{2I}=\frac{\hbar^{2}}{I}.
Mostrei passo a passo: 1(1+1)=2, que cancela o 2 do denominador.

Passo 7

A separação entre os dois níveis mais baixos é
\Delta K_{\mathrm{rot}}=K_{1}-K_{0}=\frac{\hbar^{2}}{I}-0=\frac{\hbar^{2}}{I}.
Portanto a expressão procurada é \displaystyle \frac{\hbar^{2}}{I}.

Resposta

\dfrac{\hbar^{2}}{I}

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