Num teste de vibração forçada com excitação harmônica notou-se que a amplitude do movimento na ressonância era exatamente quatro vezes a amplitude numa frequência de excitação 20 \% maior que a frequência ressonante. Determine a razão de amortecimento do sistema.

Passo 1

O enunciado diz que, em um ensaio de vibração forçada com excitação harmônica, a amplitude do movimento na ressonância é exatamente quatro vezes a amplitude quando a frequência de excitação é 20\% maior que a frequência ressonante.
Informações dadas, listadas claramente:
  • Razão entre amplitudes: amplitude em ressonância =\;4 × amplitude em \;20\% acima da frequência ressonante.
  • A frequência de excitação considerada é 20\% maior que a frequência ressonante (ou seja, \omega = 1{,}2\,\omega_{\text{res}}).
  • Queremos determinar a razão de amortecimento do sistema, ou seja, \zeta.
Nenhuma outra informação numérica (como massa, rigidez ou amplitude da força) é necessária porque a razão entre amplitudes depende apenas do fator de amplificação (magnification factor) que envolve \zeta.

Passo 2

Vamos apresentar a fórmula que relaciona a amplitude estacionária (módulo da resposta) com a frequência de excitação, explicando cada símbolo. Trabalhamos com a frequência normalizada
r=\frac{\omega}{\omega_n},
onde \omega é a frequência de excitação e \omega_n é a frequência natural do sistema. A razão de amortecimento é \zeta (número adimensional). O fator de amplificação (magnification factor) é
M(r)=\frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}.
Explicação: M(r) dá a amplitude relativa (proporcional à amplitude da força) quando a excitação está na frequência \omega=\!r\omega_n. O denominador representa a soma dos efeitos do desajuste de frequência (1-r^2) e do amortecimento 2\zeta r.
A frequência onde M(r) atinge o máximo (frequência ressonante do sistema amortecido) vem de maximizar M(r) em função de r. Equivalente a minimizar o quadrado do denominador
D(r)=(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2.
Derivando D(r) e igualando a zero:
\frac{dD}{dr} = 2(1-r^2)(-2r) + 2(2\zeta r)(2\zeta) = 0.
Simplificando:
-4r(1-r^2)+8\zeta^2 r = 0 \quad\Rightarrow\quad r\bigl[-4(1-r^2)+8\zeta^2\bigr]=0.
Desconsiderando r=0 (não é máximo de interesse), obtemos
-4(1-r^2)+8\zeta^2=0 \quad\Rightarrow\quad 1-r^2=2\zeta^2.
Logo a frequência normalizada de pico (ressonante) é
r_{\text{res}}=\sqrt{1-2\zeta^2},
válida quando \zeta<\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Substituindo r_{\text{res}} em M(r) obtemos o pico máximo
M_{\max}=M(r_{\text{res}})=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}.
Explicação: ao substituir r_{\text{res}}^2=1-2\zeta^2 no denominador de M(r), obtém-se 4\zeta^2(1-\zeta^2), cuja raiz dá o denominador acima.

Passo 3

Agora impomos a condição do enunciado. Seja r^*=r_{\text{res}}. A freqüência dada como “20% maior que a frequência ressonante” corresponde a \omega = 1{,}2\,\omega_{\text{res}}. Em termos de r (normalizada por \omega_n):
r_2 = \frac{\omega}{\omega_n} = 1{,}2\,r^*.
A condição de amplitudes é
M(r^*) = 4\,M(r_2).
Usando a forma de M(r):
\frac{1}{\sqrt{(1-(r^*)^2)^2+(2\zeta r^*)^2}} = 4\cdot\frac{1}{\sqrt{(1-r_2^2)^2+(2\zeta r_2)^2}}.
Elevando ao quadrado e invertendo:
\frac{(1-r_2^2)^2+(2\zeta r_2)^2}{(1-(r^*)^2)^2+(2\zeta r^*)^2}=16.
Usamos (r^*)^2=1-2\zeta^2 e r_2=1{,}2\,r^*. Para simplificar, definimos k=1{,}2 e k^2=1{,}44. Calculamos passo a passo os termos (tudo em termos de \zeta):
Primeiro o denominador (avaliado em r^*):
1-(r^*)^2 = 2\zeta^2,
(1-(r^*)^2)^2+(2\zeta r^*)^2 = 4\zeta^4 + 4\zeta^2(1-2\zeta^2) = 4\zeta^2(1-\zeta^2).
Agora o numerador (avaliado em r_2=k r^*):
r_2^2 = k^2(1-2\zeta^2),
1-r_2^2 = 1 - k^2(1-2\zeta^2) = 1-k^2 + 2k^2\zeta^2.
Logo
(1-r_2^2)^2 = (1-k^2 + 2k^2\zeta^2)^2,
(2\zeta r_2)^2 = 4\zeta^2 k^2(1-2\zeta^2).
Somando:
(1-r_2^2)^2+(2\zeta r_2)^2 = (1-k^2 + 2k^2\zeta^2)^2 + 4k^2\zeta^2 -8k^2\zeta^4.
Substituímos k^2=1{,}44 e efetuamos as contas numéricas com cuidado:
1-k^2 = -0{,}44,\qquad 2k^2=2{,}88.
Então
(1-r_2^2)^2+(2\zeta r_2)^2 = (-0{,}44+2{,}88\zeta^2)^2 + 5{,}76\zeta^2 -11{,}52\zeta^4.
Expandindo e somando termos obtemos (agrupando convenientemente)
(1-r_2^2)^2+(2\zeta r_2)^2 = 0{,}1936 + 3{,}2256\,\zeta^2 -3{,}2256\,\zeta^4.
A relação de razão de amplitudes se torna
\frac{0{,}1936 + 3{,}2256\,\zeta^2 -3{,}2256\,\zeta^4}{4\zeta^2(1-\zeta^2)} = 16.
Multiplicando os dois lados por 4\zeta^2(1-\zeta^2):
0{,}1936 + 3{,}2256\,\zeta^2(1-\zeta^2) = 64\,\zeta^2(1-\zeta^2).
Passando tudo para o mesmo lado:
0{,}1936 - 60{,}7744\,\zeta^2(1-\zeta^2) = 0.
Definimos y=\zeta^2. A equação fica quadrática em y:
60{,}7744\,y^2 - 60{,}7744\,y + 0{,}1936 = 0.
Aplicando a fórmula quadrática:
y=\frac{60{,}7744 \pm \sqrt{(60{,}7744)^2 - 4\cdot60{,}7744\cdot0{,}1936}}{2\cdot60{,}7744}.
Calculando o discriminante e as raízes (aproximações numéricas cuidadosas) obtemos as duas soluções
y_1\approx 0{,}9968\quad\text{e}\quad y_2\approx 0{,}003197.
Como y=\zeta^2 e estamos em regime subamortecido (valor físico de \zeta deve ser menor que 1), a solução fisicamente aceitável é a menor:
\zeta^2 \approx 0{,}003197 \quad\Rightarrow\quad \zeta \approx \sqrt{0{,}003197}.

Passo 4

Calculamos a raiz positiva:
\zeta \approx 0{,}0566.
Verificação rápida (checada numericamente): com \zeta\approx 0{,}0566 tem-se r^*=\sqrt{1-2\zeta^2}\approx 0{,}9968 e r_2=1{,}2 r^*\approx 1{,}1962. As magnitudes calculadas com esses valores satisfazem a razão M(r^*)/M(r_2)\approx 4 (verificação numérica próxima: 3{,}99\ldots, devido a arredondamento), confirmando a solução.

Resposta

\zeta \approx 0{,}0566

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