Num teste de vibração forçada com excitação harmônica notou-se que a amplitude do movimento na ressonância era exatamente quatro vezes a amplitude numa frequência de excitação
maior que a frequência ressonante. Determine a razão de amortecimento do sistema.
Passo 1
O enunciado diz que, em um ensaio de vibração forçada com excitação harmônica, a amplitude do movimento na ressonância é exatamente quatro vezes a amplitude quando a frequência de excitação é
maior que a frequência ressonante.
Informações dadas, listadas claramente:
Informações dadas, listadas claramente:
- Razão entre amplitudes: amplitude em ressonância
× amplitude em acima da frequência ressonante. - A frequência de excitação considerada é
maior que a frequência ressonante (ou seja, ). - Queremos determinar a razão de amortecimento do sistema, ou seja,
.
Nenhuma outra informação numérica (como massa, rigidez ou amplitude da força) é necessária porque a razão entre amplitudes depende apenas do fator de amplificação (magnification factor) que envolve
.
Passo 2
Vamos apresentar a fórmula que relaciona a amplitude estacionária (módulo da resposta) com a frequência de excitação, explicando cada símbolo. Trabalhamos com a frequência normalizada
onde
é a frequência de excitação e
é a frequência natural do sistema. A razão de amortecimento é
(número adimensional). O fator de amplificação (magnification factor) é
Explicação:
dá a amplitude relativa (proporcional à amplitude da força) quando a excitação está na frequência
. O denominador representa a soma dos efeitos do desajuste de frequência
e do amortecimento
.
A frequência onde
atinge o máximo (frequência ressonante do sistema amortecido) vem de maximizar
em função de
. Equivalente a minimizar o quadrado do denominador
Derivando
e igualando a zero:
Simplificando:
Desconsiderando
(não é máximo de interesse), obtemos
Logo a frequência normalizada de pico (ressonante) é
válida quando
. Substituindo
em
obtemos o pico máximo
Explicação: ao substituir
no denominador de
, obtém-se
, cuja raiz dá o denominador acima.
Passo 3
Agora impomos a condição do enunciado. Seja
. A freqüência dada como “20% maior que a frequência ressonante” corresponde a
. Em termos de
(normalizada por
):
A condição de amplitudes é
Usando a forma de
:
Elevando ao quadrado e invertendo:
Usamos
e
. Para simplificar, definimos
e
. Calculamos passo a passo os termos (tudo em termos de
):
Primeiro o denominador (avaliado em
):
Agora o numerador (avaliado em
):
Logo
Somando:
Substituímos
e efetuamos as contas numéricas com cuidado:
Então
Expandindo e somando termos obtemos (agrupando convenientemente)
A relação de razão de amplitudes se torna
Multiplicando os dois lados por
:
Passando tudo para o mesmo lado:
Definimos
. A equação fica quadrática em
:
Aplicando a fórmula quadrática:
Calculando o discriminante e as raízes (aproximações numéricas cuidadosas) obtemos as duas soluções
Como
e estamos em regime subamortecido (valor físico de
deve ser menor que
), a solução fisicamente aceitável é a menor:
Passo 4
Calculamos a raiz positiva:
Verificação rápida (checada numericamente): com
tem-se
e
. As magnitudes calculadas com esses valores satisfazem a razão
(verificação numérica próxima:
, devido a arredondamento), confirmando a solução.