This problem considers the Poisson distribution, a probability distribution for a discrete random variable which was first used by Siméon-Denis Poisson to describe seemingly random criminal events in Paris in 1837. If independent events have a constant tendency to occur and if the average rate of occurrence is a, then the probability that n events actually occur is given by
p_{n}=\frac{\mathrm{e}^{-a} d^{n}}{n!} \quad \text { with } \quad n=0,1,2, \ldots \infty .
(a) By noting that
\mathrm{e}^{+a}=1+\frac{a}{1!}+\frac{a^{2}}{2!}+\frac{a^{3}}{3!}+\ldots
show that
\sum_{n=0}^{n=\infty} p_{n}=1,
thereby verifying that the Poisson distribution is normalized.
(b) By using n / n!=1 /(n-1) ! and a^{n}=a a^{n-1}, show that
\sum_{n=0}^{n=\infty} n p_{n}=a,
thereby verifying that the average rate of occurrence, or the expectation value \langle n\rangle, is equal to a.
(c) By using similar techniques, find \left\langle n^{2}\right\rangle and show, using Eq. (3.4), that the standard deviation of the Poisson distribution is given by
\Delta n=\sqrt{a} .

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de Poisson e pede três coisas. Informações dadas:
p_n=\frac{\mathrm{e}^{-a}a^{n}}{n!}\quad\text{para}\quad n=0,1,2,\dots
e também é fornecida a série de Taylor da exponencial:
\mathrm{e}^{a}=1+\frac{a}{1!}+\frac{a^{2}}{2!}+\frac{a^{3}}{3!}+\cdots.
O que o exercício pede:
(a) Mostrar que a soma das probabilidades é 1, isto é provar \sum_{n=0}^{\infty}p_n=1.
(b) Mostrar que a média \langle n\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}n p_n é igual a a.
(c) Calcular \langle n^{2}\rangle e, usando a relação para o desvio padrão \Delta n=\sqrt{\langle n^{2}\rangle-\langle n\rangle^{2}} (essa é a Eq. (3.4) citada), mostrar que \Delta n=\sqrt{a}.

Passo 2

Prova da normalização \sum_{n=0}^{\infty}p_n=1. Escrevemos a soma:
\sum_{n=0}^{\infty}p_n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\mathrm{e}^{-a}a^{n}}{n!}.
Como \mathrm{e}^{-a} é constante em relação a n, podemos colocá-la fora da soma:
\sum_{n=0}^{\infty}p_n=\mathrm{e}^{-a}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!}.
Agora reconhecemos a série de Taylor da exponencial dada no enunciado:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!}=\mathrm{e}^{a}.
Portanto
\sum_{n=0}^{\infty}p_n=\mathrm{e}^{-a}\,\mathrm{e}^{a}=1.
Isso mostra que a distribuição está normalizada.

Passo 3

Cálculo da média \langle n\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}n p_n. Primeiro escrevemos a soma:
\sum_{n=0}^{\infty}n p_n=\sum_{n=0}^{\infty}n\frac{\mathrm{e}^{-a}a^{n}}{n!}.
O termo com n=0 é zero (porque tem fator n), então podemos começar a soma em n=1. Retirando \mathrm{e}^{-a}:
\sum_{n=0}^{\infty}n p_n=\mathrm{e}^{-a}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n a^{n}}{n!}.
Usamos a identidade \frac{n}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}. Assim
\sum_{n=0}^{\infty}n p_n=\mathrm{e}^{-a}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{(n-1)!}.
Agora fazemos a mudança de índice k=n-1. Quando n=1 temos k=0; quando n\to\infty temos k\to\infty. Substituindo n=k+1 obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}n p_n=\mathrm{e}^{-a}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^{k+1}}{k!}.
Fatoramos um a:
\sum_{n=0}^{\infty}n p_n=\mathrm{e}^{-a}\,a\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a^{k}}{k!}.
Mas a soma é novamente a série de \mathrm{e}^{a}, então
\sum_{n=0}^{\infty}n p_n=\mathrm{e}^{-a}\,a\,\mathrm{e}^{a}=a.
Assim \langle n\rangle=a, que era o pedido em (b).

Passo 4

Mini-aula curta sobre a técnica usada (para fixar): quando aparece n/n! usamos n/n!=1/(n-1)! para reduzir o fatorial; isso nos permite reescrever somas como séries conhecidas. A mudança de índice k=n-1 é apenas uma renumeração dos termos da soma, útil para fazer aparecer a série de \mathrm{e}^{a}. Sempre verifique limites: n=1\mapsto k=0 e o infinito permanece infinito.

Passo 5

Cálculo de \langle n(n-1)\rangle, que facilita obter \langle n^{2}\rangle. Escrevemos
\langle n(n-1)\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)p_n=\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)\frac{\mathrm{e}^{-a}a^{n}}{n!}.
Os termos com n=0 e n=1 são zero porque há fatores n(n-1); então a soma efetiva começa em n=2. Retirando \mathrm{e}^{-a}:
\langle n(n-1)\rangle=\mathrm{e}^{-a}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n(n-1)a^{n}}{n!}.
Usamos a identidade \frac{n(n-1)}{n!}=\frac{1}{(n-2)!}. Assim
\langle n(n-1)\rangle=\mathrm{e}^{-a}\sum_{n=2}^{\infty}\frac{a^{n}}{(n-2)!}.
Fazemos a mudança de índice m=n-2. Quando n=2 temos m=0. Portanto
\langle n(n-1)\rangle=\mathrm{e}^{-a}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{a^{m+2}}{m!}.
Fatorando a^{2}:
\langle n(n-1)\rangle=\mathrm{e}^{-a}\,a^{2}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{a^{m}}{m!}.
Reconhecendo a série de \mathrm{e}^{a} novamente, obtemos
\langle n(n-1)\rangle=\mathrm{e}^{-a}\,a^{2}\,\mathrm{e}^{a}=a^{2}.

Passo 6

Obtenção de \langle n^{2}\rangle a partir de \langle n(n-1)\rangle. Note que
n^{2}=n(n-1)+n.
Tomando expectativa:
\langle n^{2}\rangle=\langle n(n-1)\rangle+\langle n\rangle.
Usando os resultados anteriores \langle n(n-1)\rangle=a^{2} e \langle n\rangle=a, temos
\langle n^{2}\rangle=a^{2}+a.

Passo 7

Cálculo da variância e do desvio padrão. A variância é
\mathrm{Var}(n)=\langle n^{2}\rangle-\langle n\rangle^{2}.
Substituindo \langle n^{2}\rangle=a^{2}+a e \langle n\rangle=a, obtemos
\mathrm{Var}(n)=(a^{2}+a)-a^{2}=a.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\Delta n=\sqrt{\mathrm{Var}(n)}=\sqrt{a}.

Passo 8

Comentário final e exemplo prático rápido (para fixar): se a média for a=4, então \langle n\rangle=4, \langle n^{2}\rangle=4^{2}+4=20, variância =4 e desvio padrão \Delta n=2. Isso mostra que, na Poisson, média e variância coincidem — característica útil para reconhecer a distribuição em exercícios reais.

Resposta

(a) \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}p_n=1.
(b) \displaystyle \langle n\rangle=\sum_{n=0}^{\infty}n p_n=a.
(c) \displaystyle \langle n^{2}\rangle=a^{2}+a e \displaystyle \Delta n=\sqrt{a}.

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