This problem considers the Poisson distribution, a probability distribution for a discrete random variable which was first used by Siméon-Denis Poisson to describe seemingly random criminal events in Paris in 1837. If independent events have a constant tendency to occur and if the average rate of occurrence is
, then the probability that
events actually occur is given by
(a) By noting that
show that
thereby verifying that the Poisson distribution is normalized.
(b) By using
! and
, show that
thereby verifying that the average rate of occurrence, or the expectation value
, is equal to
.
(c) By using similar techniques, find
and show, using Eq. (3.4), that the standard deviation of the Poisson distribution is given by
(b) By using
(c) By using similar techniques, find
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de Poisson e pede três coisas. Informações dadas:
e também é fornecida a série de Taylor da exponencial:
O que o exercício pede:
(a) Mostrar que a soma das probabilidades é , isto é provar
.
(b) Mostrar que a média é igual a
.
(c) Calcular e, usando a relação para o desvio padrão
(essa é a Eq. (3.4) citada), mostrar que
.
(a) Mostrar que a soma das probabilidades é
(b) Mostrar que a média
(c) Calcular
Passo 2
Prova da normalização
. Escrevemos a soma:
Como
é constante em relação a
, podemos colocá-la fora da soma:
Agora reconhecemos a série de Taylor da exponencial dada no enunciado:
Portanto
Isso mostra que a distribuição está normalizada.
Passo 3
Cálculo da média
. Primeiro escrevemos a soma:
O termo com
é zero (porque tem fator
), então podemos começar a soma em
. Retirando
:
Usamos a identidade
. Assim
Agora fazemos a mudança de índice
. Quando
temos
; quando
temos
. Substituindo
obtemos
Fatoramos um
:
Mas a soma é novamente a série de
, então
Assim
, que era o pedido em (b).
Passo 4
Mini-aula curta sobre a técnica usada (para fixar): quando aparece
usamos
para reduzir o fatorial; isso nos permite reescrever somas como séries conhecidas. A mudança de índice
é apenas uma renumeração dos termos da soma, útil para fazer aparecer a série de
. Sempre verifique limites:
e o infinito permanece infinito.
Passo 5
Cálculo de
, que facilita obter
. Escrevemos
Os termos com
e
são zero porque há fatores
; então a soma efetiva começa em
. Retirando
:
Usamos a identidade
. Assim
Fazemos a mudança de índice
. Quando
temos
. Portanto
Fatorando
:
Reconhecendo a série de
novamente, obtemos
Passo 6
Obtenção de
a partir de
. Note que
Tomando expectativa:
Usando os resultados anteriores
e
, temos
Passo 7
Cálculo da variância e do desvio padrão. A variância é
Substituindo
e
, obtemos
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Passo 8
Comentário final e exemplo prático rápido (para fixar): se a média for
, então
,
, variância
e desvio padrão
. Isso mostra que, na Poisson, média e variância coincidem — característica útil para reconhecer a distribuição em exercícios reais.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) e
.
(b)
(c)