Uma máquina de 120 kg é montada no centro de uma viga simplesmente suportada de 1,5 m de comprimento, módulo de elasticidade E=200 \times 10^{9} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} e momento de inércia de seção transversal I=1,53 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{4}. Um experimento foi realizado aplicando ao sistema uma excitação harmônica de magnitude 2000 N e varrendo uma faixa de frequências de excitação. A maior amplitude de estado estacionário foi de 2,5 \mathrm{~mm}. Determine a razão de amortecimento.

Passo 1

Entender o que o enunciado pede e listar os dados. Pedem a razão de amortecimento (ζ) do sistema, sabendo que houve uma excitação harmônica de amplitude F_0 e a maior amplitude de regime estacionário observada ao variar a frequência foi X_{\max}.
Dados (peguei todos do enunciado):
\begin{aligned} & m = 120\\ \mathrm{kg} &&\text{(massa da máquina no centro da viga)}\\\ & L = 1,5\\ \mathrm{m} &&\text{(comprimento da viga)}\\\ & E = 200\times 10^{9}\\ \mathrm{N/m^{2}}\\\ & I = 1,53\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{4}}\\\ & F_{0} = 2000\\ \mathrm{N} &&\text{(amplitude da força harmônica)}\\\ & X_{\max} = 2,5\\ \mathrm{mm} = 0,0025\\ \mathrm{m} \end{aligned}áçô
Resumo do que vamos fazer (ainda sem resolver): modelar o sistema como um único grau de liberdade (a massa concentrada no centro da viga) com rigidez equivalente k obtida pela deflexão estática da viga sob carga central; usar a relação da resposta forçada em regime estacionário para um SDOF para ligar X_{\max}, F_0, k e \zeta; resolver para \zeta.

Passo 2

Modelagem da rigidez equivalente k da viga com carga concentrada no centro.
Para uma viga simplesmente apoiada com uma carga concentrada P no meio, a deflexão máxima estática é dada por
\delta = \frac{P L^{3}}{48 E I}.
A rigidez equivalente (para essa massa concentrada no centro) é k = P/\delta. Substituindo \delta obtemos
k = \frac{48 E I}{L^{3}}.
Agora calculamos numericamente k. Primeiro L^{3}=(1,5)^{3}=3,375\\ \mathrm{m^{3}}. Então
k = \frac{48\cdot(200\times10^{9})\cdot(1,53\times10^{-6})}{3,375}.
Calculemos passo a passo:
200\times10^{9}\cdot 1,53\times10^{-6}=306\times10^{3}=306000,
48\cdot 306000 = 14\,688\,000,
k = \frac{14\,688\,000}{3,375}=4\,352\,000\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

Deflexão estática sob a força de excitação F_0.
A deflexão estática (ou deslocamento estático) causada por F_0 é
X_{\text{est}}=\frac{F_0}{k}.
Substituindo valores:
X_{\text{est}}=\frac{2000}{4\,352\,000}=0,00045977\\ \mathrm{m}=0,45977\\ \mathrm{mm}.
Portanto a força de 2000\\ \mathrm{N} deslocaria estaticamente a massa cerca de 0,4598\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Frequência natural do sistema e interpretação física (curtinha e útil).
A frequência natural angular do SDOF é
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Calculando:
\omega_n=\sqrt{\frac{4\,352\,000}{120}}=\sqrt{36\,266,6667}=190,5\\ \mathrm{rad/s}.
A frequência natural em Hz é f_n=\omega_n/(2\pi)\approx 30,3\\ \mathrm{Hz}. Isso só para termos noção: a maior amplitude observada na varredura de frequência geralmente ocorre perto da ressonância (próximo de \omega_n) quando o amortecimento é pequeno.

Passo 5

Fórmula da amplitude em regime estacionário e fator de amplificação dinâmica.
Para um SDOF sujeito a F_0\sin(\omega t), a amplitude de regime estacionário é
X(\omega)=\frac{F_0/k}{\sqrt{(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}},
onde r=\dfrac{\omega}{\omega_n} é a razão de frequências e F_0/k é a deflexão estática (o “offset” estático). O fator de amplificação dinâmica (DAF) é
\text{DAF}(r)=\frac{1}{\sqrt{(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}.
A amplitude máxima observada ao variar \omega (isto é, o máximo em função de r) ocorre em
r_{\text{p}}=\sqrt{1-2\zeta^{2}}\quad(\text{válido para }\zeta<1/\sqrt{2}),á
e o valor máximo do DAF é
\text{DAF}_{\max}=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^{2}}}.
Explicação curta: essa expressão vem de maximizar a função \text{DAF}(r) em r; é um resultado padrão da resposta em frequência de um SDOF amortecido.

Passo 6

Relacionar a amplitude máxima observada com \zeta.
A amplitude máxima observada é X_{\max}. Usando DAF máximo,
X_{\max} = \frac{F_0}{k}\cdot \text{DAF}_{\max} = \frac{F_0}{k}\cdot\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^{2}}}.
Definimos a razão entre amplitude máxima e deslocamento estático:
M=\frac{X_{\max}}{X_{\text{est}}}=\text{DAF}_{\max}=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^{2}}}.
Calculamos M com os números obtidos:
X_{\text{est}}=0,00045977\\ \mathrm{m},\qquad X_{\max}=0,0025\\ \mathrm{m},
M=\frac{0,0025}{0,00045977}\approx 5,4386.

Passo 7

Resolver a equação para \zeta.
Temos
\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^{2}}}=M.
Invertendo e elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
2\zeta\sqrt{1-\zeta^{2}}=\frac{1}{M}
4\zeta^{2}(1-\zeta^{2})=\frac{1}{M^{2}}.
Seja y=\zeta^{2}. Então
4y(1-y)=\frac{1}{M^{2}}\quad\Rightarrow\quad 4y-4y^{2}=\frac{1}{M^{2}}
4y^{2}-4y+\frac{1}{M^{2}}=0.
Resolvendo a quadrática em y,
y=\frac{1}{2}\left(1\pm\sqrt{1-\frac{1}{M^{2}}}\right).
Escolhemos a raiz menor (com o sinal menos) porque \zeta deve ser pequena para que haja pico pronunciado (a outra raiz daria \zeta próximo de 1, incompatível com M>1):
\zeta^{2}=y=\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{1-\frac{1}{M^{2}}}\right).
Substituindo M\approx 5,4386:
\frac{1}{M^{2}}\approx 0,03378,\qquad \sqrt{1-\frac{1}{M^{2}}}\approx 0,98299,
\zeta^{2}=\frac{1}{2}(1-0,98299)=0,008504,
\zeta=\sqrt{0,008504}=0,0922.

Passo 8

Verificação rápida de consistência.
O pico esperado ocorre em r_{\text{p}}=\sqrt{1-2\zeta^{2}}=\sqrt{1-2\cdot0,008504}=\sqrt{0,982992}=0,9915, muito próximo de 1, ou seja, o pico experimental realmente aparece perto da frequência natural — consistente com a hipótese usada.

Resposta

\zeta = 0,0922

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