Uma máquina de 120 kg é montada no centro de uma viga simplesmente suportada de 1,5 m de comprimento, módulo de elasticidade
e momento de inércia de seção transversal
. Um experimento foi realizado aplicando ao sistema uma excitação harmônica de magnitude 2000 N e varrendo uma faixa de frequências de excitação. A maior amplitude de estado estacionário foi de
. Determine a razão de amortecimento.
Passo 1
Entender o que o enunciado pede e listar os dados. Pedem a razão de amortecimento (ζ) do sistema, sabendo que houve uma excitação harmônica de amplitude
e a maior amplitude de regime estacionário observada ao variar a frequência foi
.
Dados (peguei todos do enunciado):
Resumo do que vamos fazer (ainda sem resolver): modelar o sistema como um único grau de liberdade (a massa concentrada no centro da viga) com rigidez equivalente
obtida pela deflexão estática da viga sob carga central; usar a relação da resposta forçada em regime estacionário para um SDOF para ligar
,
,
e
; resolver para
.
Passo 2
Modelagem da rigidez equivalente
da viga com carga concentrada no centro.
Para uma viga simplesmente apoiada com uma carga concentrada
no meio, a deflexão máxima estática é dada por
A rigidez equivalente (para essa massa concentrada no centro) é
. Substituindo
obtemos
Agora calculamos numericamente
. Primeiro
. Então
Calculemos passo a passo:
Passo 3
Deflexão estática sob a força de excitação
.
A deflexão estática (ou deslocamento estático) causada por
é
Substituindo valores:
Portanto a força de
deslocaria estaticamente a massa cerca de
.
Passo 4
Frequência natural do sistema e interpretação física (curtinha e útil).
A frequência natural angular do SDOF é
Calculando:
A frequência natural em Hz é
. Isso só para termos noção: a maior amplitude observada na varredura de frequência geralmente ocorre perto da ressonância (próximo de
) quando o amortecimento é pequeno.
Passo 5
Fórmula da amplitude em regime estacionário e fator de amplificação dinâmica.
Para um SDOF sujeito a
, a amplitude de regime estacionário é
onde
é a razão de frequências e
é a deflexão estática (o “offset” estático). O fator de amplificação dinâmica (DAF) é
A amplitude máxima observada ao variar
(isto é, o máximo em função de
) ocorre em
e o valor máximo do DAF é
Explicação curta: essa expressão vem de maximizar a função
em
; é um resultado padrão da resposta em frequência de um SDOF amortecido.
Passo 6
Relacionar a amplitude máxima observada com
.
A amplitude máxima observada é
. Usando DAF máximo,
Definimos a razão entre amplitude máxima e deslocamento estático:
Calculamos
com os números obtidos:
Passo 7
Resolver a equação para
.
Temos
Invertendo e elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
Seja
. Então
Resolvendo a quadrática em
,
Escolhemos a raiz menor (com o sinal menos) porque
deve ser pequena para que haja pico pronunciado (a outra raiz daria
próximo de 1, incompatível com
):
Substituindo
:
Passo 8
Verificação rápida de consistência.
O pico esperado ocorre em
, muito próximo de 1, ou seja, o pico experimental realmente aparece perto da frequência natural — consistente com a hipótese usada.