Sejam alpha=(0 ; 2),(2 ;-1) e beta=(1 ; 1 ; 0),(0 ; 0 ;-1),(1 ; 0 ; 1) bases de R^2 e R^3.
[S]beta^alpha=[cc 2 & 0 4 & 0 0 & -4 ]
Determine S(x ; y).

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear Scolon R^2toR^3 cuja matriz de representação em relação à base de entrada alpha=(0,2),(2,-1) e à base de saída beta=(1,1,0),(0,0,-1),(1,0,1) é
[S]beta^alpha = 2 & 0 4 & 0 0 & -4
Precisamos achar a forma explícita de S(x,y) no sistema de coordenadas canônico.

Passo 2

Para aplicar
Isso dá o sistema
Da primeira equação (c_2 = \tfrac{x}{2}]. Substituindo na segunda:

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]

Passo 3

Agora multiplicamos pela matriz de S para obter as coordenadas em beta:
[S(v)]beta = 2 & 0 4 & 0 0 & -4 c1[3pt] c2 = 2c1 4c1 -4c2
Substituindo c1 e c2 achamos
2c1 = y + x2, 4c1 = 2y + x, -4c2 = -2x
Portanto
[S(v)]beta = d1 d2 d3 = y + tfracx2[3pt] 2y + x[3pt] -2x ]

Passo 4

Finalmente reconvertamos para as coordenadas canônicas usando a base beta:
S(x,y) = d1,(1,1,0) + d2,(0,0,-1) + d3,(1,0,1)
Isto é,
S(x,y) = l(d1 + d3,;d1,;-d2 + d3r)
Substituindo d1,y+tfracx2, d2=2y+x, d3=-2x obtemos
S(x,y) = l(y - tfrac32x,;y + tfracx2,;-2y - 3xr)

Resposta

S(x,y) = l(-tfrac32x + y,;tfrac12x + y,;-3x -2yr)

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