Use o algoritmo de inversão para encontrar a inversa da matriz dada, se essa inversa existir.
(a) [ccc3 & 4 & -1 1 & 0 & 3 2 & 5 & -4]
(b) [cccc2 & -4 & 0 & 0 1 & 2 & 12 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & -1 & -4 & -5]

Passo 1

A ideia do algoritmo de inversão por Gauss–Jordan é montar a matriz aumentada [Amid I] e usar operações elementares de linha para reduzir o bloco A à identidade, transformando o bloco I em A^-1. Vamos aplicar isso a cada matriz.

Passo 2

Para a matriz (a) definimos
[Amid I]= 3 & 4 & -1 &mid& 1 & 0 & 0 1 & 0 & 3 &mid& 0 & 1 & 0 2 & 5 & -4 &mid& 0 & 0 & 1
Primeiro, normalizamos a primeira linha dividindo por 3:
R1>=ts tfrac13R1 ;Longrightarrow; 1 & tfrac43 & -tfrac13 &mid& tfrac13 & 0 & 0 1 & 0 & 3 &mid& 0 & 1 & 0 2 & 5 & -4 &mid& 0 & 0 & 1

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo de a11 usando a nova R1:
R2>=ts R2 - R1, R3>=ts R3 - 2,R1 ;Longrightarrow; 1 & tfrac43 & -tfrac13 &mid& tfrac13 & 0 & 0 0 & -tfrac43 & tfrac103 &mid& -tfrac13 & 1 & 0 0 & tfrac73 & -tfrac103 &mid& -tfrac23 & 0 & 1

Passo 4

Agora pivot em a22=-tfrac43. Normalizamos R2 e apagamos coluna 2 em R1,R3:
R2>=ts -tfrac34R2 ;Longrightarrow; (0,1,-tfrac52mid tfrac14,-tfrac34,0),
R1>=ts R1 - tfrac43R2, R3>=ts R3 - tfrac73R2 ;Longrightarrow; 1 & 0 & 3 &mid& 0 & 1 & 0 0 & 1 & -tfrac52 &mid& tfrac14 & -tfrac34 & 0 0 & 0 & tfrac52 &mid& -tfrac54 & tfrac74 & 1

Passo 5

Por fim pivot em a33=tfrac52. Normalizamos R3 e zeramos a coluna 3 em R1,R2:
R3>=ts tfrac25R3 ;Longrightarrow; (0,0,1mid -tfrac12,tfrac710,tfrac25),
R1>=ts R1 -3,R3, R2>=ts R2 + tfrac52R3 ;Longrightarrow; 1 & 0 & 0 &mid& tfrac32 & -tfrac1110 & -tfrac65 0 & 1 & 0 &mid& -1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 &mid& -tfrac12 & tfrac710 & tfrac25
Assim a inversa de (a) é obtida no lado direito.

Passo 6

Para a matriz (b) montamos
[Amid I]= 2 & -4 & 0 & 0 &mid&1&0&0&0 1 & 2 & 12 & 0 &mid&0&1&0&0 0 & 0 & 2 & 0 &mid&0&0&1&0 0 & -1 & -4 & -5&mid&0&0&0&1

Passo 7

Pivot em a11=2. Normalizamos R1 e zeramos abaixo:
R1>=ts tfrac12R1, R2>=ts R2 - R1 ;Longrightarrow; 1 & -2 & 0 & 0 &mid&tfrac12&0&0&0 0 & 4 & 12 & 0 &mid&-tfrac12&1&0&0 0 & 0 & 2 & 0 &mid&0&0&1&0 0 & -1 & -4 & -5&mid&0&0&0&1

Passo 8

Pivot em a22=4. Normalizamos R2 e zeramos em R1,R4:
R2>=ts tfrac14R2 ;Longrightarrow; (0,1,3,0mid -tfrac18,tfrac14,0,0),
R1>=ts R1 +2,R2, R4>=ts R4 + R2 ;Longrightarrow; 1 & 0 & -6 & 0 &mid&tfrac14&tfrac12&0&0 0 & 1 & 3 & 0 &mid&-tfrac18&tfrac14&0&0 0 & 0 & 2 & 0 &mid&0&0&1&0 0 & 0 & -1 & -5&mid&-tfrac18&tfrac14&0&1

Passo 9

Pivot em a33=2. Normalizamos R3 e zeramos em R1,R2,R4:
R3>=ts tfrac12R3 ;Longrightarrow; (0,0,1,0mid 0,0,tfrac12,0),
R1>=ts R1 +6,R3, R2>=ts R2 -3,R3, R4>=ts R4 + R3
Longrightarrow 1 & 0 & 0 & 0 &mid&tfrac14&tfrac12&3&0 0 & 1 & 0 & 0 &mid&-tfrac18&tfrac14&-tfrac32&0 0 & 0 & 1 & 0 &mid&0&0&tfrac12&0 0 & 0 & 0 & -5&mid&-tfrac18&tfrac14&tfrac12&1

Passo 10

Finalmente pivot em a44=-5. Normalizamos R4:
R4>=ts -tfrac15R4 ;Longrightarrow; (0,0,0,1mid tfrac140,-tfrac120,-tfrac110,-tfrac15)
Não há mais colunas a zerar, então o bloco direito é A^-1.

Resposta

(a) A^-1 = tfrac32 & -tfrac1110 & -tfrac65 -1 & 1 & 1 -tfrac12 & tfrac710 & tfrac25
(b) A^-1 = tfrac14 & tfrac12 & 3 & 0 -tfrac18 & tfrac14 & -tfrac32 & 0 0 & 0 & tfrac12 & 0 tfrac140 & -tfrac120 & -tfrac110 & -tfrac15

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