Use o algoritmo de inversão para encontrar a inversa da matriz dada, se essa inversa existir.
(a)
(b)
[cccc2 & -4 & 0 & 0 1 & 2 & 12 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & -1 & -4 & -5]
(a)
(b)
Passo 1
A ideia do algoritmo de inversão por Gauss–Jordan é montar a matriz aumentada
[Amid I] e usar operações elementares de linha para reduzir o bloco
A à identidade, transformando o bloco
I em
A^-1 . Vamos aplicar isso a cada matriz.
Passo 2
Para a matriz (a) definimos
Primeiro, normalizamos a primeira linha dividindo por
3 :
Passo 3
Eliminamos as entradas abaixo de
a11 usando a nova
R1 :
Passo 4
Agora pivot em
a22=-tfrac43 . Normalizamos
R2 e apagamos coluna 2 em
R1,R3 :
Passo 5
Por fim pivot em
a33=tfrac52 . Normalizamos
R3 e zeramos a coluna 3 em
R1,R2 :
Assim a inversa de (a) é obtida no lado direito.
Passo 6
Para a matriz (b) montamos
Passo 7
Pivot em
a11=2 . Normalizamos
R1 e zeramos abaixo:
Passo 8
Pivot em
a22=4 . Normalizamos
R2 e zeramos em
R1,R4 :
Passo 9
Pivot em
a33=2 . Normalizamos
R3 e zeramos em
R1,R2,R4 :
Passo 10
Finalmente pivot em
a44=-5 . Normalizamos
R4 :
Não há mais colunas a zerar, então o bloco direito é
A^-1 .
Resposta
(a)
A^-1 = tfrac32 & -tfrac1110 & -tfrac65 -1 & 1 & 1 -tfrac12 & tfrac710 & tfrac25
(b)
A^-1 = tfrac14 & tfrac12 & 3 & 0 -tfrac18 & tfrac14 & -tfrac32 & 0 0 & 0 & tfrac12 & 0 tfrac140 & -tfrac120 & -tfrac110 & -tfrac15