As bases de um trapézio medem 12 m e 18 m e os lados oblíquos às bases medem 5 m e 7 m . Determine os lados do menor triângulo que obtemos ao prolongar os lados oblíquos às bases.

Passo 1

O enunciado dá um trapézio com as seguintes informações:
  • As bases medem \,12\\ \text{m} e \,18\\ \text{m}.
  • Os lados oblíquos (os dois lados não paralelos) medem \,5\\ \text{m} e \,7\\ \text{m}.

    O que nos pedem: ao prolongar (estender) os dois lados oblíquos até que se encontrem, forma-se um triângulo acima do trapézio. Precisamos determinar os comprimentos dos lados desse menor triângulo (ou seja, os três lados do triângulo formado pela interseção das prolongações).

Passo 2

Vamos posicionar o trapézio num sistema de coordenadas para facilitar os cálculos (método prático e comum em provas). Colocamos a base maior sobre o eixo x com seus extremos em
B=(0,0)\quad\text{e}\quad C=(18,0).
A base menor (de comprimento 12) está em uma reta paralela acima, em altura h. Denotamos os extremos da base menor por
A=(t,h)\quad\text{e}\quad D=(t+12,h),
onde t é o deslocamento horizontal da extremidade esquerda da base menor em relação a B. Ainda não sabemos t nem h.

Passo 3

Usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano (se X=(x_1,y_1) e Y=(x_2,y_2), então \overline{XY}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}). Aplicamos às diagonais laterais (os lados oblíquos):
\overline{AB}=\sqrt{(t-0)^2+(h-0)^2}=\sqrt{t^2+h^2}=5,
\overline{DC}=\sqrt{(t+12-18)^2+(h-0)^2}=\sqrt{(t-6)^2+h^2}=7.
Agora temos o sistema (obtido ao elevar ao quadrado as igualdades):
t^2+h^2=25,
(t-6)^2+h^2=49.

Passo 4

Subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar h^2:
(t-6)^2 - t^2 = 49-25 = 24.
Expandindo e simplificando:
t^2 -12t +36 - t^2 = 24 \implies -12t +36 =24 \implies -12t = -12 \implies t=1.
Com t=1 usamos t^2+h^2=25 para achar h:
1^2 + h^2 =25 \implies h^2=24 \implies h=\sqrt{24}=2\sqrt{6}.

Passo 5

Agora determinamos o ponto de interseção P das retas que contêm os lados oblíquos AB e DC (ou seja, prolongamos essas retas até que se encontrem). Parametrizamos a reta AB partindo de B=(0,0) para A=(1,h):
\text{reta }AB:\quad (x,y)=(s, s\,h)\quad(s\in\mathbb{R}).
Parametrizamos a reta DC partindo de C=(18,0) para D=(13,h) (observe t+12=13):
\text{reta }DC:\quad (x,y)=(18-5u,\; u\,h)\quad(u\in\mathbb{R}).
Na interseção P os y-coordenados são iguais, então s\,h = u\,h, como h\neq0 segue s=u. Igualando as abscissas:
s = 18 - 5s \implies 6s = 18 \implies s=3.
Logo
P=(3,\,3h)=(3,\,3\cdot 2\sqrt{6})=(3,\,6\sqrt{6}).

Passo 6

Agora calculamos os comprimentos dos lados do triângulo formado por P,A,D. A base AD já é a base menor do trapézio:
\overline{AD}=12.
As outras duas arestas são \overline{PA} e \overline{PD}. Calculamos usando a fórmula da distância.
Vetor PA: A=(1,h), P=(3,3h) então diferença (3-1,\;3h-h)=(2,\;2h). Assim
\overline{PA}=\sqrt{2^2+(2h)^2}=2\sqrt{1+h^2}.
Como h^2=24,
\overline{PA}=2\sqrt{1+24}=2\sqrt{25}=2\cdot 5 =10.
Vetor PD: D=(13,h), diferença (3-13,\;3h-h)=(-10,\;2h). Assim
\overline{PD}=\sqrt{(-10)^2+(2h)^2}=\sqrt{100+4h^2}.
Com h^2=24,
\overline{PD}=\sqrt{100+4\cdot 24}=\sqrt{100+96}=\sqrt{196}=14.

Passo 7

Concluímos que o triângulo formado pelas prolongações dos lados oblíquos tem lados de comprimentos \,10\\ \text{m}, \,12\\ \text{m} e \,14\\ \text{m}. (Boa! Triângulo \,10,12,14.)

Resposta

10\\ \text{m},\\\ 12\\ \text{m},\\\ 14\\ \text{m}

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