As bases de um trapézio medem 12 m e 18 m e os lados oblíquos às bases medem 5 m e 7 m . Determine os lados do menor triângulo que obtemos ao prolongar os lados oblíquos às bases.
Passo 1
O enunciado dá um trapézio com as seguintes informações:
As bases medem \,12\\ \text{m} e \,18\\ \text{m}.
Os lados oblíquos (os dois lados não paralelos) medem \,5\\ \text{m} e \,7\\ \text{m}.
O que nos pedem: ao prolongar (estender) os dois lados oblíquos até que se encontrem, forma-se um triângulo acima do trapézio. Precisamos determinar os comprimentos dos lados desse menor triângulo (ou seja, os três lados do triângulo formado pela interseção das prolongações).
Passo 2
Vamos posicionar o trapézio num sistema de coordenadas para facilitar os cálculos (método prático e comum em provas). Colocamos a base maior sobre o eixo x com seus extremos em
B=(0,0)\quad\text{e}\quad C=(18,0).
A base menor (de comprimento 12) está em uma reta paralela acima, em altura h. Denotamos os extremos da base menor por
A=(t,h)\quad\text{e}\quad D=(t+12,h),
onde t é o deslocamento horizontal da extremidade esquerda da base menor em relação a B. Ainda não sabemos t nem h.
Passo 3
Usamos a fórmula da distância entre dois pontos no plano (se X=(x_1,y_1) e Y=(x_2,y_2), então \overline{XY}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}). Aplicamos às diagonais laterais (os lados oblíquos):
Agora determinamos o ponto de interseção P das retas que contêm os lados oblíquos AB e DC (ou seja, prolongamos essas retas até que se encontrem). Parametrizamos a reta AB partindo de B=(0,0) para A=(1,h):
Concluímos que o triângulo formado pelas prolongações dos lados oblíquos tem lados de comprimentos \,10\\ \text{m}, \,12\\ \text{m} e \,14\\ \text{m}. (Boa! Triângulo \,10,12,14.)