Seja f(x, y, z) de classe C^{2} e seja \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) ponto interior de D_{f}. Suponha que \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) seja ponto crítico de f. Prove:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \leqslant 0, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \leqslant 0 e \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \leqslant 0 é uma condição necessária para o ponto crítico \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) ser ponto de máximo local de f.

Passo 1

O enunciado dá uma função \,f(x,y,z)\, de classe C^{2} e um ponto interior \,(x_{0},y_{0},z_{0})\, do domínio tal que esse ponto é crítico. Pergunta-se para provar que é condição necessária, para que \,(x_{0},y_{0},z_{0})\, seja ponto de máximo local de f, que
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\!(x_{0},y_{0},z_{0}) \le 0,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\!(x_{0},y_{0},z_{0}) \le 0,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\!(x_{0},y_{0},z_{0}) \le 0.
Informações relevantes dadas:
  • \,f\in C^{2}\, (todas as derivadas de ordem até 2 existem e são contínuas).
  • \,(x_{0},y_{0},z_{0})\, é ponto interior de D_{f}.
  • \,(x_{0},y_{0},z_{0})\, é ponto crítico de f (ou seja, as derivadas parciais primeiras valem zero no ponto).
  • Queremos mostrar que as segundas derivadas parciais puras ao longo de x,y,z no ponto são \le 0 como condição necessária para máximo local.

Passo 2

Estratégia: vou fixar as coordenadas (y,z) e olhar a função de uma variável que resulta ao variar apenas x. A mesma argumentação vale, trocando variáveis, para y e para z. Defino a função de uma variável
g(t) = f(x_{0}+t,\,y_{0},\,z_{0}).
Explico por que isso é útil: se (x_{0},y_{0},z_{0}) é máximo local de f, então ao restringir f à reta que varia só x (mantendo y,z fixos) obtemos uma função g de uma variável que tem máximo local em t=0. Assim podemos aplicar fatos elementares de cálculo de uma variável a g.

Passo 3

Propriedades da função g:
  • Como f\in C^{2}, a composição que define g é C^{2}; logo g é duas vezes diferenciável em torno de t=0.
  • Pelo fato de (x_{0},y_{0},z_{0}) ser ponto crítico de f, temos
\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0},z_{0}) = 0.
Mas g'(t) é exatamente a derivada direcional de f na direção x, isto é,
g'(t) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+t,\,y_{0},\,z_{0}).
Em particular,
g'(0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0},z_{0}) = 0.

Passo 4

Fato de cálculo de uma variável (que vou demonstrar de forma elementar): se uma função g é C^{2} numa vizinhança de 0 e tem máximo local em t=0, então g'(0)=0 e g''(0)\le 0.
Demonstração rápida desse fato:
  • A condição de máximo local em t=0 significa que existe \delta>0 tal que para todo t com |t|<\delta valha g(t)\le g(0).
  • Como g é diferenciável, o requisito de máximo implica g'(0)=0. (Explicando: considerar os quocientes diferenciais à direita e à esquerda; para máximo, as derivadas laterais não podem ser positivas à direita nem negativas à esquerda, daí a derivada ser zero.)
  • Como g\in C^{2}, podemos usar a expansão de Taylor com resto pequeno-o:
g(t) = g(0) + g'(0)\,t + \tfrac{1}{2}g''(0)\,t^{2} + o(t^{2}) \quad\text{quando } t\to 0.
Já sabemos g'(0)=0, então
g(t)-g(0) = \tfrac{1}{2}g''(0)\,t^{2} + o(t^{2}).
Para t pequeno, t^{2}>0. Pela condição de máximo local temos g(t)-g(0)\le 0 para todos os t pequenos positivos e negativos. Dividindo por t^{2} (positivo) obtemos
\tfrac{1}{2}g''(0) + \frac{o(t^{2})}{t^{2}} \le 0.
Fazendo t\to 0, o termo \dfrac{o(t^{2})}{t^{2}}\to 0, segue
\tfrac{1}{2}g''(0) \le 0 \quad\Longrightarrow\quad g''(0)\le 0.
Isso conclui a demonstração do fato utilizado.

Passo 5

Aplicando o fato ao nosso g: como (x_{0},y_{0},z_{0}) é máximo local de f, a função restrita g(t)=f(x_{0}+t,y_{0},z_{0}) tem máximo local em t=0. Pelo Passo 4 concluímos que
g''(0)\le 0.

Passo 6

Relacionando g''(0) com a derivada segunda parcial de f: usando a expressão já dada para g'(t),
g'(t) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+t,y_{0},z_{0}).
Derivando novamente em t (possível porque f\in C^{2}), obtemos
g''(t) = \frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0}+t,y_{0},z_{0})\Big) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0}+t,y_{0},z_{0}).
Em particular,
g''(0) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0}).
Combinando com g''(0)\le 0 do Passo 5 obtemos
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0}) \le 0.

Passo 7

O argumento do Passo 2 até o Passo 6 é perfeitamente simétrico se, em vez de variar x, variarmos só y ou só z. Ou seja, definindo
h(t)=f(x_{0},y_{0}+t,z_{0})\quad\text{e}\quad k(t)=f(x_{0},y_{0},z_{0}+t)
e repetindo os mesmos passos, chegamos às conclusões
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0}) \le 0,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0}) \le 0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0}) \le 0
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0}) \le 0
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0}) \le 0

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