Seja
de classe
e seja
ponto interior de
. Suponha que
seja ponto crítico de
. Prove:
e
é uma condição necessária para o ponto crítico
ser ponto de máximo local de
.
Passo 1
O enunciado dá uma função
de classe
e um ponto interior
do domínio tal que esse ponto é crítico. Pergunta-se para provar que é condição necessária, para que
seja ponto de máximo local de
, que
Informações relevantes dadas:
-
(todas as derivadas de ordem até 2 existem e são contínuas). -
é ponto interior de . -
é ponto crítico de (ou seja, as derivadas parciais primeiras valem zero no ponto). - Queremos mostrar que as segundas derivadas parciais puras ao longo de
no ponto são como condição necessária para máximo local.
Passo 2
Estratégia: vou fixar as coordenadas
e olhar a função de uma variável que resulta ao variar apenas
. A mesma argumentação vale, trocando variáveis, para
e para
. Defino a função de uma variável
Explico por que isso é útil: se
é máximo local de
, então ao restringir
à reta que varia só
(mantendo
fixos) obtemos uma função
de uma variável que tem máximo local em
. Assim podemos aplicar fatos elementares de cálculo de uma variável a
.
Passo 3
Propriedades da função
:
- Como
, a composição que define é ; logo é duas vezes diferenciável em torno de . - Pelo fato de
ser ponto crítico de , temos
Mas
é exatamente a derivada direcional de
na direção
, isto é,
Em particular,
Passo 4
Fato de cálculo de uma variável (que vou demonstrar de forma elementar): se uma função
é
numa vizinhança de
e tem máximo local em
, então
e
.
Demonstração rápida desse fato:
- A condição de máximo local em
significa que existe tal que para todo com valha . - Como
é diferenciável, o requisito de máximo implica . (Explicando: considerar os quocientes diferenciais à direita e à esquerda; para máximo, as derivadas laterais não podem ser positivas à direita nem negativas à esquerda, daí a derivada ser zero.) - Como
, podemos usar a expansão de Taylor com resto pequeno-o:
Já sabemos
, então
Para
pequeno,
. Pela condição de máximo local temos
para todos os
pequenos positivos e negativos. Dividindo por
(positivo) obtemos
Fazendo
, o termo
, segue
Isso conclui a demonstração do fato utilizado.
Passo 5
Aplicando o fato ao nosso
: como
é máximo local de
, a função restrita
tem máximo local em
. Pelo Passo 4 concluímos que
Passo 6
Relacionando
com a derivada segunda parcial de
: usando a expressão já dada para
,
Derivando novamente em
(possível porque
), obtemos
Em particular,
Combinando com
do Passo 5 obtemos
Passo 7
O argumento do Passo 2 até o Passo 6 é perfeitamente simétrico se, em vez de variar
, variarmos só
ou só
. Ou seja, definindo
e repetindo os mesmos passos, chegamos às conclusões