Consideremos um triângulo A B C de 15 cm de perímetro. A bissetriz externa do ângulo \hat{A} desse triângulo encontra o prolongamento do lado \overline{B C} em um ponto S . Sabendo que a bissetriz interna do ângulo \hat{A} determina sobre \overline{B C} dois segmentos \overline{B P} e \overline{P C} de medidas 3 cm e 2 cm , respectivamente, determine as medidas dos lados do triângulo e a medida do segmento \overline{C S}.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo A B C com perímetro 15 cm. A bissetriz interna do ângulo \hat{A} encontra o lado \overline{B C} em P e determina os segmentos \overline{B P}=3 cm e \overline{P C}=2 cm. A bissetriz externa do ângulo \hat{A} intersecta o prolongamento de \overline{B C} em um ponto S.
O que se pede: determinar as medidas dos lados do triângulo \overline{A B},\overline{A C},\overline{B C} e a medida do segmento \overline{C S}.
Informações relevantes listadas explicitamente:
\overline{B P}=3 cm, \overline{P C}=2 cm (logo \overline{B C}=3+2=5 cm), perímetro \overline{A B}+\overline{A C}+\overline{B C}=15 cm, e a bissetriz interna e externa relacionadas aos lados próximos a A.

Passo 2

Usamos o teorema da bissetriz interna (expliquei o que é e por que serve). O teorema diz: a bissetriz interna de um ângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Em fórmulas,
\frac{\overline{B P}}{\overline{P C}}=\frac{\overline{A B}}{\overline{A C}}.
Aqui \overline{B P}=3 e \overline{P C}=2, então
\frac{\overline{A B}}{\overline{A C}}=\frac{3}{2}.
Isto significa que podemos escrever \overline{A B}=3k e \overline{A C}=2k para algum k>0. (Explicando: representar as medidas por um parâmetro k é uma maneira padrão de usar a razão conhecida para transformar a relação em comprimentos concretos.)

Passo 3

Já sabemos também que \overline{B C}=\overline{B P}+\overline{P C}=3+2=5 cm (pego diretamente do enunciado). Como o perímetro é 15 cm, temos
\overline{A B}+\overline{A C}+\overline{B C}=15.
Substituindo \overline{A B}=3k, \overline{A C}=2k e \overline{B C}=5, obtemos
3k+2k+5=15.
Agora resolvemos essa equação simples: 5k+5=15 então 5k=10 e logo k=2.

Passo 4

Com k=2 calculamos os lados:
\overline{A B}=3k=3\cdot 2=6\\ \text{cm},
\overline{A C}=2k=2\cdot 2=4\\ \text{cm},
e já tínhamos \overline{B C}=5\\ \text{cm}. Faço uma checagem rápida: 6+4+5=15 ok.

Passo 5

Agora precisamos de \overline{C S}. Usamos o teorema da bissetriz externa (vou explicar): a bissetriz externa do ângulo em A divide externamente o segmento oposto na mesma razão dos lados adjacentes, isto é,
\frac{\overline{B S}}{\overline{C S}}=\frac{\overline{A B}}{\overline{A C}}.
Aqui \frac{\overline{A B}}{\overline{A C}}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}>1, portanto \overline{B S}>\overline{C S}, o que corresponde ao ponto S estando no prolongamento além de C. Nesse caso \overline{B S}=\overline{B C}+\overline{C S}. Substituindo na razão:
\frac{\overline{B C}+\overline{C S}}{\overline{C S}}=\frac{3}{2}.

Passo 6

Resolvendo a equação para \overline{C S}:
\frac{5+\overline{C S}}{\overline{C S}}=\frac{3}{2}.
Isto dá 1+\frac{5}{\overline{C S}}=\frac{3}{2}, então \frac{5}{\overline{C S}}=\frac{1}{2} e portanto \overline{C S}=2\cdot 5=10\\ \text{cm}. Checagem: \overline{B S}=5+10=15 e \dfrac{\overline{B S}}{\overline{C S}}=\dfrac{15}{10}=\dfrac{3}{2}, consistente com a razão dos lados.

Resposta

\overline{A B}=6\\ \text{cm}
\overline{A C}=4\\ \text{cm}
\overline{B C}=5\\ \text{cm}
\overline{C S}=10\\ \text{cm}

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