A bissetriz externa \overline{A S} de um triângulo A B C determina sobre o prolongamento do lado \overline{B C} um segmento \overline{C S} de medida y. Sendo os lados \overline{A B} e \overline{A C}, respectivamente, o triplo e o dobro do menor segmento determinado pela bissetriz interna \overline{A P} sobre o lado \overline{B C} que mede 20 cm , determine o valor de y.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para encontrar y:
  • A bissetriz interna \overline{A P} corta o lado \overline{B C} em P, determinando dois segmentos \overline{B P} e \overline{P C}.
  • O menor desses segmentos (ou seja, \min\{BP,PC\}) mede 20 cm.
  • Os lados \overline{A B} e \overline{A C} são, respectivamente, o triplo e o dobro desse menor segmento. Ou seja, se o menor segmento mede 20 então AB é três vezes esse valor e AC é duas vezes esse valor.
  • A bissetriz externa \overline{A S} corta o prolongamento de \overline{B C} além de C em S, produzindo o segmento \overline{C S} de comprimento y. Precisamos determinar y.

Passo 2

Entendendo a bissetriz interna (teorema usado): a bissetriz interna de um ângulo divide o lado oposto em dois segmentos proporcionais aos lados que formam o ângulo. Em fórmula:
\frac{BP}{PC}=\frac{AB}{AC}.
Aqui cada símbolo tem o sentido óbvio: BP e PC são os comprimentos dos segmentos em BC determinados por P; AB e AC são os comprimentos dos lados do triângulo que tocam o vértice A.
Pelo enunciado, o menor segmento determinado por P mede 20 cm, e AB é o triplo desse menor segmento e AC é o dobro desse menor segmento. Portanto podemos escrever imediatamente:
AB=3\cdot 20=60\quad\text{e}\quad AC=2\cdot 20=40.

Passo 3

Usando a proporção do Passo 2:
\frac{BP}{PC}=\frac{AB}{AC}=\frac{60}{40}=\frac{3}{2}.
Isto diz que BP e PC são números proporcionais a 3 e 2. Ou seja, existem k>0 tal que
BP=3k,\qquad PC=2k.
Como o menor desses é 20 cm, e entre 3k e 2k o menor é 2k, temos
2k=20.
Assim k=10. Logo
BP=3k=30\\ \text{cm},\qquad PC=2k=20\\ \text{cm}.

Passo 4

Comprimento de BC: somando os dois segmentos obtidos por P,
BC=BP+PC=30+20=50\\ \text{cm}.

Passo 5

Agora a bissetriz externa (teorema): a bissetriz externa de um ângulo divide externamente o lado oposto numa razão igual à razão dos lados adjacentes. Em fórmula, se S está no prolongamento de BC além de C,
\frac{BS}{CS}=\frac{AB}{AC}.
Aqui CS é o segmento buscado y e BS é a distância entre B e S. Como S está além de C, temos BS=BC+CS. Substituindo CS=y e BC=50 achado antes:
\frac{50+y}{y}=\frac{AB}{AC}=\frac{60}{40}=\frac{3}{2}.

Passo 6

Resolvendo a equação para y:
\frac{50+y}{y}=\frac{3}{2}
Multiplicando em cruz:
2(50+y)=3y.
Desenvolvendo:
100+2y=3y.
Subtraindo 2y dos dois lados:
100=y.

Passo 7

Verificação rápida: CS=y=100 e BS=BC+CS=50+100=150. A razão é 150/100=3/2, que coincide com AB/AC=60/40. Tudo consistente.

Resposta

y=100\\ \text{cm}

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