A bissetriz externa \overline{A S} de um triângulo A B C determina sobre o prolongamento do lado \overline{B C} um segmento \overline{C S} de medida y. Sendo os lados \overline{A B} e \overline{A C}, respectivamente, o triplo e o dobro do menor segmento determinado pela bissetriz interna \overline{A P} sobre o lado \overline{B C} que mede 20 cm , determine o valor de y.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para encontrar y:
A bissetriz interna \overline{A P} corta o lado \overline{B C} em P, determinando dois segmentos \overline{B P} e \overline{P C}.
O menor desses segmentos (ou seja, \min\{BP,PC\}) mede 20 cm.
Os lados \overline{A B} e \overline{A C} são, respectivamente, o triplo e o dobro desse menor segmento. Ou seja, se o menor segmento mede 20 então AB é três vezes esse valor e AC é duas vezes esse valor.
A bissetriz externa \overline{A S} corta o prolongamento de \overline{B C} além de C em S, produzindo o segmento \overline{C S} de comprimento y. Precisamos determinar y.
Passo 2
Entendendo a bissetriz interna (teorema usado): a bissetriz interna de um ângulo divide o lado oposto em dois segmentos proporcionais aos lados que formam o ângulo. Em fórmula:
\frac{BP}{PC}=\frac{AB}{AC}.
Aqui cada símbolo tem o sentido óbvio: BP e PC são os comprimentos dos segmentos em BC determinados por P; AB e AC são os comprimentos dos lados do triângulo que tocam o vértice A.
Pelo enunciado, o menor segmento determinado por P mede 20 cm, e AB é o triplo desse menor segmento e AC é o dobro desse menor segmento. Portanto podemos escrever imediatamente:
Isto diz que BP e PC são números proporcionais a 3 e 2. Ou seja, existem k>0 tal que
BP=3k,\qquad PC=2k.
Como o menor desses é 20 cm, e entre 3k e 2k o menor é 2k, temos
2k=20.
Assim k=10. Logo
BP=3k=30\\ \text{cm},\qquad PC=2k=20\\ \text{cm}.
Passo 4
Comprimento de BC: somando os dois segmentos obtidos por P,
BC=BP+PC=30+20=50\\ \text{cm}.
Passo 5
Agora a bissetriz externa (teorema): a bissetriz externa de um ângulo divide externamente o lado oposto numa razão igual à razão dos lados adjacentes. Em fórmula, se S está no prolongamento de BC além de C,
\frac{BS}{CS}=\frac{AB}{AC}.
Aqui CS é o segmento buscado y e BS é a distância entre B e S. Como S está além de C, temos BS=BC+CS. Substituindo CS=y e BC=50 achado antes: