As bases de um tronco de pirâmide regular são quadrados cujas diagonais medem 4 \sqrt{2} \mathrm{~cm} e 10 \sqrt{2} \mathrm{~cm}, respectivamente. Determine o volume do tronco, sendo 5 cm a medida da aresta lateral.

Passo 1

O enunciado dá um tronco de pirâmide regular cujas bases são quadrados. As informações fornecidas são:
  • diagonal da base menor: \;4\sqrt{2}\\ \mathrm{cm};
  • diagonal da base maior: \;10\sqrt{2}\\ \mathrm{cm};
  • medida da aresta lateral (aresta inclinada ligando vértices correspondentes das bases): \;5\\ \mathrm{cm}.
    A pergunta é: determinar o volume do tronco (em \mathrm{cm}^3).

Passo 2

Estratégia geral (explicação da fórmula que vamos usar): para um tronco de pirâmide a fórmula do volume é dada por
V=\frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1A_2}\right),
onde \;A_1 e \;A_2 são as áreas das duas bases paralelas e \;h é a altura (distância perpendicular entre as bases). Vou explicar cada símbolo: \;A_1 área da base menor, \;A_2 área da base maior, \;h altura (medida perpendicular entre os planos das bases). Portanto precisamos calcular \;A_1,\;A_2 e \;h. As duas primeiras saem direto das diagonais; a altura \;h precisa ser obtida a partir da aresta lateral e da diferença de posições dos vértices (usando o Teorema de Pitágoras).

Passo 3

Relação diagonal ↔ lado do quadrado (recapitulando e aplicando): para um quadrado de lado \;s a diagonal \;d satisfaz
d = s\sqrt{2}.
Isolando \;s temos
s=\frac{d}{\sqrt{2}}.
Essa fórmula vem do triângulo retângulo formado por dois lados do quadrado (hipotenusa = diagonal).

Passo 4

Calcular os lados das bases a partir das diagonais dadas:
s_1=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4\\ \mathrm{cm},
s_2=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=10\\ \mathrm{cm},
onde \;s_1 é o lado da base menor e \;s_2 o lado da base maior.

Passo 5

Calcular as distâncias do centro do quadrado até um vértice (metade da diagonal): para cada base a distância do centro ao vértice é \;r=\dfrac{d}{2}. Assim
r_1=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\\ \mathrm{cm},
r_2=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}.
Esses r_1 e r_2 representam a projeção horizontal (no plano da base) da posição dos vértices correspondentes em relação ao centro.

Passo 6

Calcular a distância horizontal entre vértices correspondentes das duas bases (projeção no plano das bases): como o tronco é regular as bases são centradas e alinhadas, então a distância horizontal entre vértices correspondentes vale
\Delta = r_2 - r_1 = 5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}.
Essa \Delta é o cateto horizontal no triângulo retângulo que temos entre aresta lateral, altura e projeção horizontal.

Passo 7

Usar o Teorema de Pitágoras para encontrar a altura \;h: a aresta lateral \;l é a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são \;h (altura vertical) e \;\Delta (projeção horizontal). Assim
l^2 = h^2 + \Delta^2.
Isolando \;h obtemos
h=\sqrt{l^2-\Delta^2}.
Substituindo os valores \;l=5\\ \mathrm{cm} e \;\Delta=3\sqrt{2}\\ \mathrm{cm}:
\Delta^2=(3\sqrt{2})^2=9\cdot 2=18,
l^2=5^2=25,
logo
h=\sqrt{25-18}=\sqrt{7}\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Calcular as áreas das bases (são quadrados): \;A_1=s_1^2 e \;A_2=s_2^2. Logo
A_1 = 4^2 = 16\\ \mathrm{cm}^2,
A_2 = 10^2 = 100\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 9

Calcular \sqrt{A_1A_2} que aparece na fórmula do volume:
\sqrt{A_1A_2}=\sqrt{16\cdot 100}=\sqrt{1600}=40\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 10

Aplicar a fórmula do volume com os valores obtidos:
V=\frac{h}{3}\left(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1A_2}\right).
Substituindo \;h=\sqrt{7}, \;A_1=16, \;A_2=100 e \;\sqrt{A_1A_2}=40:
V=\frac{\sqrt{7}}{3}\bigl(16+100+40\bigr)=\frac{\sqrt{7}}{3}\cdot 156.
Fazendo a divisão:
\frac{156}{3}=52,
portanto
V=52\sqrt{7}\\ \mathrm{cm}^3.

Resposta

52\sqrt{7}\\ \mathrm{cm}^3

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