As bases de um tronco de pirâmide regular são quadrados cujas diagonais medem
e
, respectivamente. Determine o volume do tronco, sendo 5 cm a medida da aresta lateral.
Passo 1
O enunciado dá um tronco de pirâmide regular cujas bases são quadrados. As informações fornecidas são:
- diagonal da base menor:
; - diagonal da base maior:
; - medida da aresta lateral (aresta inclinada ligando vértices correspondentes das bases):
.
A pergunta é: determinar o volume do tronco (em).
Passo 2
Estratégia geral (explicação da fórmula que vamos usar): para um tronco de pirâmide a fórmula do volume é dada por
onde
e
são as áreas das duas bases paralelas e
é a altura (distância perpendicular entre as bases). Vou explicar cada símbolo:
área da base menor,
área da base maior,
altura (medida perpendicular entre os planos das bases). Portanto precisamos calcular
e
. As duas primeiras saem direto das diagonais; a altura
precisa ser obtida a partir da aresta lateral e da diferença de posições dos vértices (usando o Teorema de Pitágoras).
Passo 3
Relação diagonal ↔ lado do quadrado (recapitulando e aplicando): para um quadrado de lado
a diagonal
satisfaz
Isolando
temos
Essa fórmula vem do triângulo retângulo formado por dois lados do quadrado (hipotenusa = diagonal).
Passo 4
Calcular os lados das bases a partir das diagonais dadas:
onde
é o lado da base menor e
o lado da base maior.
Passo 5
Calcular as distâncias do centro do quadrado até um vértice (metade da diagonal): para cada base a distância do centro ao vértice é
. Assim
Esses
e
representam a projeção horizontal (no plano da base) da posição dos vértices correspondentes em relação ao centro.
Passo 6
Calcular a distância horizontal entre vértices correspondentes das duas bases (projeção no plano das bases): como o tronco é regular as bases são centradas e alinhadas, então a distância horizontal entre vértices correspondentes vale
Essa
é o cateto horizontal no triângulo retângulo que temos entre aresta lateral, altura e projeção horizontal.
Passo 7
Usar o Teorema de Pitágoras para encontrar a altura
: a aresta lateral
é a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são
(altura vertical) e
(projeção horizontal). Assim
Isolando
obtemos
Substituindo os valores
e
:
logo
Passo 8
Calcular as áreas das bases (são quadrados):
e
. Logo
Passo 9
Calcular
que aparece na fórmula do volume:
Passo 10
Aplicar a fórmula do volume com os valores obtidos:
Substituindo
,
,
e
:
Fazendo a divisão:
portanto