O volume de um tronco de pirâmide regular é 109 \mathrm{dm}^{3}; as bases são triângulos equiláteros de 5 dm e de 7 dm de lado. Calcule a altura.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
O volume do tronco de pirâmide regular é V=109\\ \mathrm{dm}^3.
As duas bases são triângulos equiláteros com lados a_1=7\\ \mathrm{dm} (base maior) e a_2=5\\ \mathrm{dm} (base menor).
Pergunta: calcular a altura h do tronco.
Passo 2
Vamos lembrar como calcular a área de um triângulo equilátero. Se a é o lado, o triângulo equilátero tem altura h_{\text{tri}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}. A área é base vezes altura sobre 2, portanto:
Precisamos da fórmula do volume do tronco de pirâmide (frustum). Se um tronco tem altura h e áreas das bases A_1 e A_2, então o volume é
V=\frac{h}{3}\left(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}\right).
Breve intuição: essa fórmula vem de subtrair o volume de uma pirâmide menor, semelhante, do volume da pirâmide maior; a raiz \sqrt{A_1A_2} aparece por causa da razão linear entre semelhança (áreas crescem com o quadrado da razão linear).
Passo 5
Agora vamos calcular \sqrt{A_1A_2} e somar A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}.