O volume de um tronco de pirâmide regular é 109 \mathrm{dm}^{3}; as bases são triângulos equiláteros de 5 dm e de 7 dm de lado. Calcule a altura.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • O volume do tronco de pirâmide regular é V=109\\ \mathrm{dm}^3.
  • As duas bases são triângulos equiláteros com lados a_1=7\\ \mathrm{dm} (base maior) e a_2=5\\ \mathrm{dm} (base menor).
  • Pergunta: calcular a altura h do tronco.

Passo 2

Vamos lembrar como calcular a área de um triângulo equilátero. Se a é o lado, o triângulo equilátero tem altura h_{\text{tri}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}. A área é base vezes altura sobre 2, portanto:
A=\frac{a\cdot h_{\text{tri}}}{2}=\frac{a\cdot \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.
Aqui A é a área do triângulo de lado a.

Passo 3

Calculamos as áreas das duas bases usando \displaystyle A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.
Área da base maior ( a_1=7):
A_1=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 7^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 49=\frac{49\sqrt{3}}{4}\\ \mathrm{dm}^2.
Área da base menor ( a_2=5):
A_2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 5^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 25=\frac{25\sqrt{3}}{4}\\ \mathrm{dm}^2.

Passo 4

Precisamos da fórmula do volume do tronco de pirâmide (frustum). Se um tronco tem altura h e áreas das bases A_1 e A_2, então o volume é
V=\frac{h}{3}\left(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}\right).
Breve intuição: essa fórmula vem de subtrair o volume de uma pirâmide menor, semelhante, do volume da pirâmide maior; a raiz \sqrt{A_1A_2} aparece por causa da razão linear entre semelhança (áreas crescem com o quadrado da razão linear).

Passo 5

Agora vamos calcular \sqrt{A_1A_2} e somar A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}.
Calcule \sqrt{A_1A_2}:
\sqrt{A_1A_2}=\sqrt{\left(\frac{49\sqrt{3}}{4}\right)\left(\frac{25\sqrt{3}}{4}\right)} =\sqrt{\frac{49\cdot 25\cdot (\sqrt{3})^2}{16}} =\sqrt{\frac{1225\cdot 3}{16}} =\sqrt{\frac{3675}{16}} =\frac{\sqrt{3675}}{4}.
Como 3675=1225\cdot 3=(35^2)\cdot 3, temos \sqrt{3675}=35\sqrt{3}. Assim
\sqrt{A_1A_2}=\frac{35\sqrt{3}}{4}.
Somando:
A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}=\frac{49\sqrt{3}}{4}+\frac{25\sqrt{3}}{4}+\frac{35\sqrt{3}}{4} =\frac{(49+25+35)\sqrt{3}}{4}=\frac{109\sqrt{3}}{4}.

Passo 6

Substituímos na fórmula do volume e resolvemos para h:
V=\frac{h}{3}\left(A_1+A_2+\sqrt{A_1A_2}\right)=\frac{h}{3}\cdot\frac{109\sqrt{3}}{4}.
Como V=109, temos
109=\frac{h}{3}\cdot\frac{109\sqrt{3}}{4}.
Podemos dividir ambos os lados por 109 (não é zero), obtendo
1=\frac{h}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{h\sqrt{3}}{12}.
Isolando h:
h=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\\ \mathrm{dm}.

Passo 7

Vamos também dar uma aproximação decimal para intuir o valor:
4\sqrt{3}\approx 4\cdot 1{,}732\approx 6{,}928\\ \mathrm{dm}.
Força aí — você já chegou na resposta exata e na aproximação, e deu pra ver como as áreas e a fórmula do tronco se comportam!

Resposta

4\sqrt{3}\\ \mathrm{dm} (aproximadamente 6{,}928\\ \mathrm{dm})

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