Determine a área total de um tronco de pirâmide regular, sendo as bases paralelas hexagonais, em que o lado da maior base mede 10 cm e a altura do tronco é igual ao apótema da maior base, sabendo ainda que as faces laterais do tronco formam com a base maior um ângulo diedro de
.
Passo 1
O enunciado pede a área total de um tronco de pirâmide regular com bases hexagonais paralelas. Informações dadas:
- O lado da maior base (hexágono regular) é
. - A altura do tronco é igual ao apótema da maior base.
- As faces laterais do tronco formam com a base maior um ângulo diedro de
.
O que precisamos encontrar: a área total do tronco (soma das áreas das duas bases hexagonais e da superfície lateral).
Passo 2
Vamos começar encontrando o apótema
da maior base (hexágono regular de lado
).
Um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado . O apótema é a altura desses triângulos dividida por 2, mas mais direto: a fórmula do apótema de um hexágono regular é
Um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado
Aplicando para
:
Passo 3
Agora vamos relacionar o ângulo diedro entre uma face lateral e a base com a altura da pirâmide completa (antes de truncar). Considere a pirâmide regular completa da qual o tronco deriva (apex acima do centro). Tome a seção que é perpendicular a uma aresta da base e passa pelo centro: nessa seção aparece um triângulo retângulo cuja base horizontal é a distância do centro ao ponto médio da aresta (o apótema
) e cuja altura vertical é a altura da pirâmide completa
. A linha na face lateral, perpendicular à aresta, faz com o plano da base o mesmo ângulo diedro de
. Assim,
Como
, obtemos
Substituindo
:
Passo 4
Seja
a altura da pirâmide completa (
cm) e
a altura da pequena pirâmide que foi retirada no topo (a parte acima da base menor). A altura do tronco é
Pelo enunciado, a altura do tronco é igual ao apótema da maior base, então
. Logo
Pela semelhança de seções transversais (semelhança de triângulos nas alturas), as arestas laterais das bases (os lados dos hexágonos) escalam na mesma razão das alturas medidas a partir do ápice. Assim, se
é o lado da base menor,
Substituindo valores:
Passo 5
Calculemos o apótema da base menor
. Usando a mesma relação entre apótema e lado:
Substituindo
:
Agora calculemos a diferença das apótemas, que será útil:
Então
.
Passo 6
Agora determinamos a altura inclinada (geratriz)
de cada face lateral (a “altura” do trapézio lateral). Em uma seção perpendicular à aresta (que contém os pontos médios das arestas correspondentes das duas bases), a geratriz forma um triângulo retângulo com catetos: a altura do tronco
(vertical) e a diferença de apótemas
(horizontal). Assim:
Substituindo
e
:
Passo 7
Calculamos as áreas das bases. A área de um hexágono regular de lado
é
Para a base maior (
):
Para a base menor usemos a expressão de
. Primeiro calculemos
:
Agora a área
:
Portanto
.
Passo 8
Calculamos a área lateral. A superfície lateral é composta por 6 trapézios congruentes; a área lateral total pode ser obtida por
onde
e
são os perímetros das bases e
é a geratriz comum. Temos
e
Então
Multiplicando por
:
Passo 9
Somamos as áreas para obter a área total:
Substituindo os valores encontrados:
Agrupando termos:
Portanto, em forma exata,
Como verificação numérica rápida:
dá
.