Determine a área total de um tronco de pirâmide regular, sendo as bases paralelas hexagonais, em que o lado da maior base mede 10 cm e a altura do tronco é igual ao apótema da maior base, sabendo ainda que as faces laterais do tronco formam com a base maior um ângulo diedro de 60^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede a área total de um tronco de pirâmide regular com bases hexagonais paralelas. Informações dadas:
  • O lado da maior base (hexágono regular) é \;10\;\text{cm}.
  • A altura do tronco é igual ao apótema da maior base.
  • As faces laterais do tronco formam com a base maior um ângulo diedro de \;60^\circ.
    O que precisamos encontrar: a área total do tronco (soma das áreas das duas bases hexagonais e da superfície lateral).

Passo 2

Vamos começar encontrando o apótema \;r_1 da maior base (hexágono regular de lado \;s_1=10).
Um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros de lado \;s. O apótema é a altura desses triângulos dividida por 2, mas mais direto: a fórmula do apótema de um hexágono regular é
r = \frac{\sqrt{3}}{2}\,s.
Aplicando para \;s_1=10:
r_1=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 10 = 5\sqrt{3}\\ \text{cm}.

Passo 3

Agora vamos relacionar o ângulo diedro entre uma face lateral e a base com a altura da pirâmide completa (antes de truncar). Considere a pirâmide regular completa da qual o tronco deriva (apex acima do centro). Tome a seção que é perpendicular a uma aresta da base e passa pelo centro: nessa seção aparece um triângulo retângulo cuja base horizontal é a distância do centro ao ponto médio da aresta (o apótema r_1) e cuja altura vertical é a altura da pirâmide completa H. A linha na face lateral, perpendicular à aresta, faz com o plano da base o mesmo ângulo diedro de \;60^\circ. Assim,
\tan 60^\circ = \frac{H}{r_1}.
Como \tan 60^\circ=\sqrt{3}, obtemos
H = r_1\sqrt{3}.
Substituindo r_1=5\sqrt{3}:
H = 5\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=5\cdot 3 =15\\ \text{cm}.

Passo 4

Seja \;H a altura da pirâmide completa ( 15 cm) e \;H_s a altura da pequena pirâmide que foi retirada no topo (a parte acima da base menor). A altura do tronco é
h = H - H_s.
Pelo enunciado, a altura do tronco é igual ao apótema da maior base, então \;h=r_1=5\sqrt{3}. Logo
H_s = H - h = 15 - 5\sqrt{3}.
Pela semelhança de seções transversais (semelhança de triângulos nas alturas), as arestas laterais das bases (os lados dos hexágonos) escalam na mesma razão das alturas medidas a partir do ápice. Assim, se \;s_2 é o lado da base menor,
\frac{s_2}{s_1}=\frac{H_s}{H}.
Substituindo valores:
s_2 = s_1\cdot\frac{H_s}{H} = 10\cdot\frac{15-5\sqrt{3}}{15} =10\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right).

Passo 5

Calculemos o apótema da base menor \;r_2. Usando a mesma relação entre apótema e lado:
r_2=\frac{\sqrt{3}}{2}\,s_2.
Substituindo s_2=10\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right):
r_2=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 10\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) =5\sqrt{3}\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = r_1\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right).
Agora calculemos a diferença das apótemas, que será útil:
r_1-r_2 = r_1\cdot\frac{\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3} = 5.
Então \;r_1-r_2=5\\ \text{cm}.

Passo 6

Agora determinamos a altura inclinada (geratriz) \;L de cada face lateral (a “altura” do trapézio lateral). Em uma seção perpendicular à aresta (que contém os pontos médios das arestas correspondentes das duas bases), a geratriz forma um triângulo retângulo com catetos: a altura do tronco h (vertical) e a diferença de apótemas r_1-r_2 (horizontal). Assim:
L=\sqrt{h^2+(r_1-r_2)^2}.
Substituindo h=5\sqrt{3} e r_1-r_2=5:
L=\sqrt{(5\sqrt{3})^2+5^2}=\sqrt{25\cdot 3+25}=\sqrt{100}=10\\ \text{cm}.

Passo 7

Calculamos as áreas das bases. A área de um hexágono regular de lado s é
A_{\text{hex}}=\frac{1}{2}\cdot(\text{perímetro})\cdot(\text{apótema}) = \frac{1}{2}\cdot 6s\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}s = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,s^2.íó
Para a base maior ( s_1=10):
A_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 10^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 100 =150\sqrt{3}\\ \text{cm}^2.
Para a base menor usemos a expressão de s_2. Primeiro calculemos s_2^2:
s_2=10\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\implies s_2^2=100\left(1-\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}\right)=\frac{100}{3}\left(4-2\sqrt{3}\right).
Agora a área A_2:
A_2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\,s_2^2 =\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{100}{3}(4-2\sqrt{3}) =100\sqrt{3}\cdot\frac{4-2\sqrt{3}}{2} =100(2\sqrt{3}-3).
Portanto A_2=100(2\sqrt{3}-3)\\ \text{cm}^2.

Passo 8

Calculamos a área lateral. A superfície lateral é composta por 6 trapézios congruentes; a área lateral total pode ser obtida por
A_{\text{lat}}=\frac{P_1+P_2}{2}\cdot L,
onde P_1=6s_1 e P_2=6s_2 são os perímetros das bases e L é a geratriz comum. Temos P_1=6\cdot 10=60 e
P_2=6s_2=60\left(1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=60-20\sqrt{3}.
Então
\frac{P_1+P_2}{2}=\frac{60+(60-20\sqrt{3})}{2}=60-10\sqrt{3}.
Multiplicando por L=10:
A_{\text{lat}}=10(60-10\sqrt{3})=600-100\sqrt{3}\\ \text{cm}^2.

Passo 9

Somamos as áreas para obter a área total:
A_{\text{total}}=A_1+A_2+A_{\text{lat}}.
Substituindo os valores encontrados:
A_{\text{total}}=150\sqrt{3} + 100(2\sqrt{3}-3) + (600-100\sqrt{3}).
Agrupando termos:
A_{\text{total}}=(150\sqrt{3}+200\sqrt{3}-100\sqrt{3}) + (600-300) =250\sqrt{3}+300.
Portanto, em forma exata,
A_{\text{total}}=300+250\sqrt{3}\\ \text{cm}^2.
Como verificação numérica rápida: \sqrt{3}\approx 1{,}732 A_{\text{total}}\approx 733{,}01\\ \text{cm}^2.

Resposta

300+250\sqrt{3}\\ \text{cm}^2 (aprox. 733{,}01\\ \text{cm}^2)

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