As bases de um tronco de pirâmide são dois pentágonos regulares cujos lados medem 5 dm e 3 dm , respectivamente. Sendo essas bases paralelas e a medida do apótema do tronco de pirâmide 10 dm , determine a área lateral desse tronco.

Passo 1

O enunciado dá um tronco de pirâmide cujas bases são dois pentágonos regulares paralelos. As informações relevantes que eu peguei do enunciado são:
  • lado do pentágono maior: 5 dm;
  • lado do pentágono menor: 3 dm;
  • apótema (ou apótema lateral / altura inclinada das faces laterais) do tronco: 10 dm.
    O que se pede: determinar a área lateral do tronco de pirâmide.

Passo 2

Entendendo a área lateral e a ideia por trás da fórmula (aula rapidinha, passo a passo).
  • Cada face lateral do tronco é um trapézio isósceles cujo “bases” paralelas são os lados correspondentes dos dois pentágonos e cuja “altura” do trapézio é a apótema do tronco (a distância inclinada entre as bases ao longo da face).
  • A área de um trapézio qualquer é dada por
A_{\text{trap}}=\frac{(B+b)\,h}{2},
onde B e b são as duas bases do trapézio e h é a altura do trapézio. Aqui h corresponde à apótema do tronco.
  • Como o pentágono é regular, as cinco faces laterais são trapézios congruentes em pares correspondentes (cada uma com as mesmas bases: um lado do pentágono grande e o lado correspondente do pentágono pequeno). Somando a área das cinco faces obtemos a área lateral total.
  • Se P_1 é o perímetro da base maior e P_2 o perímetro da base menor, somando as áreas dos cinco trapézios temos (aqui a é a apótema):
A_{\text{lateral}} = \sum_{i=1}^{5} \frac{(b_{1,i}+b_{2,i})\,a}{2} = \frac{a}{2}\sum_{i=1}^{5}(b_{1,i}+b_{2,i})=\frac{a}{2}(P_1+P_2).
  • Portanto a fórmula prática que vou usar é
A_{\text{lateral}}=\frac{a\,(P_1+P_2)}{2},
onde a é a apótema (slant height) e P_1,P_2 são os perímetros das bases. Isso evita ter que somar individualmente cada trapézio na prova — basta calcular os perímetros.

Passo 3

Calcular os perímetros das bases a partir dos lados (peguei esses dados do enunciado).
  • Perímetro da base maior:
P_1 = 5\times 5 = 25\\ \text{dm}.
  • Perímetro da base menor:
P_2 = 5\times 3 = 15\\ \text{dm}.

Passo 4

Aplicar a fórmula com a=10 dm, P_1=25 dm e P_2=15 dm:
A_{\text{lateral}}=\frac{a\,(P_1+P_2)}{2}=\frac{10\,(25+15)}{2}.
Fazendo as contas passo a passo:
25+15=40,
\frac{40}{2}=20,
10\times 20=200.
A unidade é \text{dm}^2, pois multiplico comprimento por comprimento.

Passo 5

Conclusão e checagem rápida: a fórmula usada tem sentido geométrico (soma das áreas dos cinco trapézios) e as contas são simples inteiras, então o resultado é consistente.

Resposta

200\\ \text{dm}^2

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