Determine a medida do apótema de um tronco de pirâmide regular cujas bases são triângulos equiláteros de lados 8 cm e 12 cm , respectivamente, e a área lateral do tronco mede
.
Passo 1
O problema pede: determinar a medida do apótema de um tronco de pirâmide regular cujas bases são triângulos equiláteros de lados
e
, sabendo que a área lateral do tronco é
.
Informações dadas:
- Base menor: triângulo equilátero de lado
. - Base maior: triângulo equilátero de lado
. - Área lateral do tronco:
.
O que é pedido:
- A medida do apótema do tronco (ou seja, a medida do “slant height” — a altura inclinada das faces laterais, também chamada de apótema lateral).
Passo 2
Entendendo a geometria lateral: o tronco de pirâmide regular com base triangular tem três faces laterais. Cada face lateral é um trapézio isósceles cuja base maior é o lado correspondente do triângulo maior e cuja base menor é o lado correspondente do triângulo menor. As bases paralelas desses trapézios, portanto, medem
e
. A altura desses trapézios, medida perpendicularmente entre as bases paralelas dentro da face lateral, é exatamente o apótema
que queremos achar.
Passo 3
Fórmula útil (área do trapézio): para um trapézio com bases
e
e altura
,
Aqui:
é a base maior do trapézio,
a base menor, e
a altura do trapézio. No nosso caso, para cada face lateral temos
,
e
(o apótema). Vou explicar: essa fórmula é a média das bases multiplicada pela altura; pense que somamos duas áreas triangulares iguais para formar o trapézio — é a forma mais direta de lembrar.
Passo 4
Área de uma face lateral (um trapézio) do tronco: substituindo
,
e
na fórmula do trapézio,
Portanto cada face lateral tem área
(unidade:
se
estiver em
).
Passo 5
Como a base é triangular, há três faces laterais idênticas. Então a área lateral total do tronco é três vezes a área de uma face:
Aqui defini:
é a soma das áreas dos três trapézios.
Passo 6
Usamos a informação do enunciado:
. Igualando:
Agora isolamos
dividindo ambos os lados por
.
Passo 7
Cálculo da apótema:
Portanto
e a unidade é
porque a área estava em
e os comprimentos das bases em
.
Passo 8
Comentário curto (para fixar a ideia): também poderíamos ter usado a fórmula geral do tronco regular:
, onde
e
são os perímetros das bases. Aqui
e
, assim
e voltamos à equação
, mesmo resultado.