Determine a medida do apótema de um tronco de pirâmide regular cujas bases são triângulos equiláteros de lados 8 cm e 12 cm , respectivamente, e a área lateral do tronco mede 180 \mathrm{~cm}^{2}.

Passo 1

O problema pede: determinar a medida do apótema de um tronco de pirâmide regular cujas bases são triângulos equiláteros de lados 8\\ \mathrm{cm} e 12\\ \mathrm{cm}, sabendo que a área lateral do tronco é 180\\ \mathrm{cm}^{2}.
Informações dadas:
  • Base menor: triângulo equilátero de lado 8\\ \mathrm{cm}.
  • Base maior: triângulo equilátero de lado 12\\ \mathrm{cm}.
  • Área lateral do tronco: 180\\ \mathrm{cm}^{2}.
O que é pedido:
  • A medida do apótema do tronco (ou seja, a medida do “slant height” — a altura inclinada das faces laterais, também chamada de apótema lateral).

Passo 2

Entendendo a geometria lateral: o tronco de pirâmide regular com base triangular tem três faces laterais. Cada face lateral é um trapézio isósceles cuja base maior é o lado correspondente do triângulo maior e cuja base menor é o lado correspondente do triângulo menor. As bases paralelas desses trapézios, portanto, medem 12\\ \mathrm{cm} e 8\\ \mathrm{cm}. A altura desses trapézios, medida perpendicularmente entre as bases paralelas dentro da face lateral, é exatamente o apótema a que queremos achar.

Passo 3

Fórmula útil (área do trapézio): para um trapézio com bases B e b e altura h,
A_{\text{trap}}=\frac{B+b}{2}\cdot h.
Aqui: B é a base maior do trapézio, b a base menor, e h a altura do trapézio. No nosso caso, para cada face lateral temos B=12, b=8 e h=a (o apótema). Vou explicar: essa fórmula é a média das bases multiplicada pela altura; pense que somamos duas áreas triangulares iguais para formar o trapézio — é a forma mais direta de lembrar.

Passo 4

Área de uma face lateral (um trapézio) do tronco: substituindo B=12, b=8 e h=a na fórmula do trapézio,
A_{\text{face}}=\frac{12+8}{2}\cdot a=\frac{20}{2}\cdot a=10a.
Portanto cada face lateral tem área 10a (unidade: \mathrm{cm}^2 se a estiver em \mathrm{cm}).

Passo 5

Como a base é triangular, há três faces laterais idênticas. Então a área lateral total do tronco é três vezes a área de uma face:
A_{\text{lateral total}}=3\cdot A_{\text{face}}=3\cdot 10a=30a.
Aqui defini: A_{\text{lateral total}} é a soma das áreas dos três trapézios.

Passo 6

Usamos a informação do enunciado: A_{\text{lateral total}}=180\\ \mathrm{cm}^{2}. Igualando:
30a=180.
Agora isolamos a dividindo ambos os lados por 30.

Passo 7

Cálculo da apótema:
a=\frac{180}{30}=6.
Portanto a=6 e a unidade é \mathrm{cm} porque a área estava em \mathrm{cm}^{2} e os comprimentos das bases em \mathrm{cm}.

Passo 8

Comentário curto (para fixar a ideia): também poderíamos ter usado a fórmula geral do tronco regular: \displaystyle A_{\text{lateral}}=\frac{P_1+P_2}{2}\cdot a, onde P_1 e P_2 são os perímetros das bases. Aqui P_1=3\cdot 8=24 e P_2=3\cdot 12=36, assim \frac{P_1+P_2}{2}=\frac{24+36}{2}=30 e voltamos à equação 30a=180, mesmo resultado.

Resposta

6\\ \mathrm{cm}

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