Calcule o valor da aceleração da gravidade em uma estação espacial que orbite a Terra a uma distância de 360 km da superfície (e.g. a Estação Espacial Internacional - International Space Station ISS). Dados raio da Terra 6,37 \times 10^{3} \mathrm{~km}, massa da Terra 5,97 \times 10^{24} \mathrm{~kg} e Constante Gravitacional Universal 6,67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{kg}^{2}.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a aceleração da gravidade na estação espacial que orbita a Terra a uma distância de 360\\ \text{km} acima da superfície.
Dados fornecidos:
  • Raio da Terra: R=6,37\times10^{3}\\ \text{km}.
  • Altitude da estação: h=360\\ \text{km}.
  • Massa da Terra: M=5,97\times10^{24}\\ \text{kg}.
  • Constante gravitacional: G=6,67\times10^{-11}\\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{kg}^{2}.
Observação importante: para usar as fórmulas corretamente precisamos trabalhar no Sistema Internacional (SI), isto é, em metros (m), segundos (s), quilogramas (kg). Portanto convém converter R e h para metros antes de calcular.

Passo 2

Fórmula que vamos usar e por quê.
A lei da gravitação de Newton diz que a força gravitacional entre a Terra (massa M) e um corpo de massa m localizado a uma distância r do centro da Terra é
F = G\frac{M m}{r^{2}}.
A aceleração que essa força produz no corpo (ou seja, a gravidade local) é a força por unidade de massa:
g(r)=\frac{F}{m}=G\frac{M}{r^{2}}.
Explicando as variáveis:
  • g(r) é a aceleração da gravidade no ponto cuja distância ao centro da Terra é r.
  • G é a constante gravitacional universal.
  • M é a massa da Terra.
  • r é a distância do centro da Terra até a estação (ou seja, r=R+h, com R e h no mesmo sistema de unidades).

Passo 3

Converter os comprimentos para metros e calcular r.
Converter R e h para metros:
R = 6,37\times10^{3}\\ \text{km} = 6,37\times10^{3}\times10^{3}\\ \text{m} = 6,37\times10^{6}\\ \text{m}.
h = 360\\ \text{km} = 360\times10^{3}\\ \text{m} = 3,60\times10^{5}\\ \text{m}.
Somando para obter r:
r = R + h = 6,37\times10^{6}\\ \text{m} + 3,60\times10^{5}\\ \text{m} = 6,73\times10^{6}\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular o numerador G M (mostrando manuseio de potências de 10).
Multiplicando G por M:
G M = \left(6,67\times10^{-11}\right)\left(5,97\times10^{24}\right).
Multiplicando os coeficientes e somando expoentes:
6,67\cdot5,97 = 39,8199\quad\text{e}\quad -11 + 24 = 13,
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G M \approx 3,98199\times10^{14}\\ \text{(unidades: N·m}^{2}\text{/kg)}.
Para manter os cálculos simples podemos usar G M \approx 3,98\times10^{14}.

Passo 5

Calcular r^{2}.
r^{2} = \left(6,73\times10^{6}\\ \text{m}\right)^{2} = 6,73^{2}\times10^{12}\\ \text{m}^{2}.
6,73^{2} = 45,2929\quad\Rightarrow\quad r^{2}\approx 4,52929\times10^{13}\\ \text{m}^{2}.

Passo 6

Calcular g(r)=G M / r^{2} e arredondar.
Dividindo:
g(r) = \frac{3,98199\times10^{14}}{4,52929\times10^{13}} \approx \frac{3,98199}{4,52929}\times10^{1}.
\frac{3,98199}{4,52929}\approx0,8794\quad\Rightarrow\quad g(r)\approx0,8794\times10^{1}=8,794\\ \text{m/s}^{2}.
Arredondando com três algarismos significativos:
g(r)\approx8,79\\ \text{m/s}^{2}.
Breve comentário motivador: isso mostra que, mesmo em órbita a 360\\ \text{km}, a gravidade ainda é bastante forte (não é “ausente” — por isso os astronautas ficam em queda livre e aparentam flutuar).

Resposta

8,79\\ \text{m/s}^{2}

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