1. Um bastão cilíndrico de grafite (carbono sólido puro, densidade 2,25 \mathrm{~g} . \mathrm{cm}^{-3} ), de comprimento igual a 25 cm e diâmetro inicial igual a 2,0 \mathrm{~cm}, é inserido em uma corrente de ar escoando a 1100 K e pressão total de 2,0 \mathrm{~atm} .0 gás em escoamento cria, em torno da superficie externa do bastão, uma camada-limite de gás estagnado, com 0,5 \mathrm{~cm} de espessura. Nessa temperatura elevada, o carbono sólido se oxida a dióxido de carbono gasoso, de acordo com a reação: \mathrm{C}(\mathrm{s})+\mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g}) \rightarrow \mathrm{CO}_{2}(\mathrm{~g}). Essa reação de oxidação na superficie é limitada pela difusão molecular do \mathrm{O}_{2} através do filme gasoso estagnado que envolve a superficie do bastão. Logo, a concentração de \mathrm{O}_{2} na superfície do grafite é efetivamente zero. Na região externa ao filme gasoso, a composição no seio da corrente gasosa é igual à do ar. Dado: \mathrm{D}_{0 z}- ar (1100 \mathrm{~K})=0,708 \mathrm{~cm}^{2} \cdot \mathrm{~s}^{-1}.
    a. Estime a taxa inicial de produção de \mathrm{CO}_{2} proveniente do bastão, supondo que a reação na superfície seja limitada pela difusão.
    b. Quanto tempo levará para que o bastão de grafite desapareça totalmente?

Passo 1

O problema trata da oxidação de um bastão cilíndrico de grafite, de raio inicial \,r_{0}=1{,}0\;\mathrm{cm} e comprimento L=25\;\mathrm{cm}, imerso em ar a T=1100\;\mathrm{K} e p=2{,}0\;\mathrm{atm}. Em torno do bastão forma-se uma película gasosa estagnada de espessura \delta=0{,}5\;\mathrm{cm}, através da qual o \mathrm{O}_{2} deve difundir até a superfície, onde é consumido imediatamente (concentração zero). A difusão limita a reação \mathrm{C}+\mathrm{O}_{2}\to\mathrm{CO}_{2}. Vamos estimar (a) a taxa inicial de produção de \mathrm{CO}_{2} e (b) o tempo para o bastão desaparecer, usando a Lei de Fick para difusão estacionária.

Passo 2

Calcular a concentração molar de \mathrm{O}_{2} no escoamento externo (bulk), assumindo y_{\mathrm{O}_{2}}=0{,}21 e gás ideal:
p_{\mathrm{O}_{2}}=0{,}21\times2{,}0=0{,}42\;\mathrm{atm}
C_{\infty}=\frac{p_{\mathrm{O}_{2}}}{R\,T} \quad\text{com}\; R=82{,}06\;\frac{\mathrm{atm}\,\mathrm{cm}^{3}}{\mathrm{mol}\,\mathrm{K}}
C_{\infty}=\frac{0{,}42}{82{,}06\times1100} \approx4{,}65\times10^{-6}\;\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{cm}^{3}}

Passo 3

Usar a Lei de Fick para fluxo estacionário através da película de espessura \delta, com concentração na superfície C_{s}=0:
J = -D\,\frac{C_{s}-C_{\infty}}{\delta} = D\,\frac{C_{\infty}}{\delta}
Substituindo D=0{,}708\;\mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s} e \delta=0{,}5\;\mathrm{cm}:
J = 0{,}708\;\frac{\mathrm{cm}^{2}}{\mathrm{s}}\times\frac{4{,}65\times10^{-6}}{0{,}5} \approx6{,}59\times10^{-6}\;\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{cm}^{2}\,\mathrm{s}}

Passo 4

A taxa inicial de produção molar de \mathrm{CO}_{2} é J vezes a área externa do cilindro A=\pi\,d\,L=\pi\times2{,}0\times25\;\mathrm{cm}^{2}:
A=\pi\times50=157{,}1\;\mathrm{cm}^{2} \quad\Longrightarrow\quad \dot{n}_{\mathrm{CO}_{2}}=J\,A \approx6{,}59\times10^{-6}\times157{,}1 \approx1{,}03\times10^{-3}\;\frac{\mathrm{mol}}{\mathrm{s}}

Passo 5

Para estimar o tempo de vida do bastão, fazemos balanço de massa de carbono. A massa de C no bastão é
m=\rho\,V =\bigl(2{,}25\;\mathrm{g/cm^{3}}\bigr)\times\bigl(\pi\,r^{2}\,L\bigr)
em moles N=\tfrac{m}{M_{C}}. A taxa de consumo de C (mol/s) é -\dot{n}_{\mathrm{CO}_{2}}=-J\,A. Diferenciando N em função de r obtém-se
\frac{dr}{dt}=-\frac{M_{C}\,J}{\rho}
onde M_{C}=12\;\mathrm{g/mol}. Então r(t)=r_{0}-\bigl(M_{C}J/\rho\bigr)\,t e o bastão some quando r(t_{f})=0.

Passo 6

Calcular t_{f}:
t_{f}=\frac{\rho\,r_{0}}{M_{C}\,J} =\frac{2{,}25\times1{,}0}{12\times6{,}59\times10^{-6}} \approx2{,}84\times10^{4}\;\mathrm{s} \approx7{,}9\;\mathrm{h}

Resposta

(a) \dot{n}_{\mathrm{CO}_{2}}\approx1{,}03\times10^{-3}\;\mathrm{mol/s}.
(b) t_{f}\approx2{,}84\times10^{4}\;\mathrm{s}\approx7{,}9\;\mathrm{h}.

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