Considere uma cápsula esférica de gel contendo um biocatalisador uniformemente distribuido no interior do gel. Dentro dessa cápsula de gel, uma reaçũo homogênea de primeira ordem A \vec{k}_{1} D é promovida pelo biocatalisador. A cápsula de gel é suspensa no interior da água que contém uma concentração conhecida, constante e diluída do soluto A\left(C_{A, a}\right).
a. Defina o sistema e identifique a fonte e o sorvedouro para o processo de transferência de massa em relação ao reagente A. Liste, ao menos, três suposições razoáveis para esse processo. Então, desenvolva a equação diferencial de massa para o processo em termos do perfil de concentração, c_{A}. Liste todas as condições de contorno necessárias para especificar essa equação diferencial.
# dica
Por desenvofyer, entenda: escrever, simplificar com hipóteses adequadas, substituir a equação para \mathcal{N}_{\wedge} e, também, a expressão equivafente para \mathcal{R}_{v} oftendó, após algebrísmos, a forma final da equasão.
b. A solução analítica para o perfil de concentração ế dada por:
Qual é a taxa total de consumo do soluto A por uma única cápsula, expressa em \mu \mathrm{mol} de A por hora? A cápsula tem um diâmetro de 6,0 \mathrm{~mm}. O coeficiente de difusão do soluto A dentro do gel é 2 \times 10^{-6} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}, k_{1}=0,019 \mathrm{~s}^{-1} e c_{A, \infty} é 0,02 \mu \mathrm{~mol} / \mathrm{cm}^{3}. Sugestão: derive a relação para c_{A}(r) \mathrm{em} relação a r e, então, estime o fluxo N_{A} \mathrm{em} r=R.
Passo 1
O enunciado trata da transferência de massa com reação em uma cápsula esférica de gel, onde ocorre uma reação homogênea de primeira ordem
A \xrightarrow{k_{1}} \text{produtos}
promovida pelo biocatalisador distribuído uniformemente.
Conteúdo: balanço de massa em regime estacionário com difusão e reação em coordenadas esféricas.
Passo 2
Definição do sistema: volume interno da esfera de raio R.
Fonte e sorvedouro:
– Fonte de A: difusão que entra pela superfície da esfera (do meio externo para o gel).
– Sorvedouro de A: reação de primeira ordem consumindo A dentro do gel.
Suposições razoáveis:
– Regime estacionário (\partial c_A/\partial t=0).
– Simetria esférica e propriedades constantes (D e k_1 uniformes).
– Transporte interno só por difusão (sem convecção interna).
– Concentração externa c_{A,\infty} constante e resistente externo desprezível, de modo que c_A(R)=c_{A,\infty}.
Passo 3
Balanço diferencial de massa em esfera (acumulação = fluxo divergente + reação):