2)

  1. Considere uma cápsula esférica de gel contendo um biocatalisador uniformemente distribuido no interior do gel. Dentro dessa cápsula de gel, uma reaçũo homogênea de primeira ordem A \vec{k}_{1} D é promovida pelo biocatalisador. A cápsula de gel é suspensa no interior da água que contém uma concentração conhecida, constante e diluída do soluto A\left(C_{A, a}\right).
    a. Defina o sistema e identifique a fonte e o sorvedouro para o processo de transferência de massa em relação ao reagente A. Liste, ao menos, três suposições razoáveis para esse processo. Então, desenvolva a equação diferencial de massa para o processo em termos do perfil de concentração, c_{A}. Liste todas as condições de contorno necessárias para especificar essa equação diferencial.

# dica

Por desenvofyer, entenda: escrever, simplificar com hipóteses adequadas, substituir a equação para \mathcal{N}_{\wedge} e, também, a expressão equivafente para \mathcal{R}_{v} oftendó, após algebrísmos, a forma final da equasão.
b. A solução analítica para o perfil de concentração ế dada por:
c_{A}(r)=c_{A \infty} \frac{R \operatorname{senh}\left(r \sqrt{k_{1} / D_{A B}}\right)}{r \operatorname{senh}\left(R \sqrt{k_{1} / D_{A B}}\right)}
Qual é a taxa total de consumo do soluto A por uma única cápsula, expressa em \mu \mathrm{mol} de A por hora? A cápsula tem um diâmetro de 6,0 \mathrm{~mm}. O coeficiente de difusão do soluto A dentro do gel é 2 \times 10^{-6} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}, k_{1}=0,019 \mathrm{~s}^{-1} e c_{A, \infty} é 0,02 \mu \mathrm{~mol} / \mathrm{cm}^{3}. Sugestão: derive a relação para c_{A}(r) \mathrm{em} relação a r e, então, estime o fluxo N_{A} \mathrm{em} r=R.

Passo 1

O enunciado trata da transferência de massa com reação em uma cápsula esférica de gel, onde ocorre uma reação homogênea de primeira ordem
A \xrightarrow{k_{1}} \text{produtos}
promovida pelo biocatalisador distribuído uniformemente.
Conteúdo: balanço de massa em regime estacionário com difusão e reação em coordenadas esféricas.

Passo 2

Definição do sistema: volume interno da esfera de raio R.
Fonte e sorvedouro:
– Fonte de A: difusão que entra pela superfície da esfera (do meio externo para o gel).
– Sorvedouro de A: reação de primeira ordem consumindo A dentro do gel.
Suposições razoáveis:
– Regime estacionário ( \partial c_A/\partial t=0).
– Simetria esférica e propriedades constantes ( D e k_1 uniformes).
– Transporte interno só por difusão (sem convecção interna).
– Concentração externa c_{A,\infty} constante e resistente externo desprezível, de modo que c_A(R)=c_{A,\infty}.

Passo 3

Balanço diferencial de massa em esfera (acumulação = fluxo divergente + reação):
0 = -\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\bigl(r^2N_A(r)\bigr)\;-\;k_1\,c_A(r),
onde pelo Fick
N_A(r)=-D\,\frac{d c_A}{dr}.
Logo a EDO em c_A(r) é
D\,\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r^2\frac{d c_A}{dr}\Bigr) = k_1\,c_A(r).
Condições de contorno necessárias:
\frac{d c_A}{dr}\Big|_{r=0}=0 \quad\text{(simetria no centro)}, \qquad c_A(R)=c_{A,\infty} \quad\text{(superfície em contato com o meio).}í

Passo 4

A solução analítica dada é
c_A(r) = c_{A,\infty}\, \frac{R\,\operatorname{sinh}(\lambda r)}{r\,\operatorname{sinh}(\lambda R)}, \quad \lambda=\sqrt{\frac{k_1}{D}}.
O fluxo na superfície é
N_A(R) =-D\,\frac{d c_A}{dr}\Big|_{r=R},
e a taxa total de consumo por cápsula é
\dot n_A =4\pi R^2\,N_A(R) =4\pi R^2\biggl[-D\, \frac{d c_A}{dr}\Big|_{r=R}\biggr].
Calculando \tfrac{d c_A}{dr} e avaliando em r=R chega‐se a
\dot n_A =4\pi R^2\,D\,c_{A,\infty}\, \frac{\lambda R\operatorname{cosh}(\lambda R)-\operatorname{sinh}(\lambda R)}{\operatorname{sinh}(\lambda R)}.

Passo 5

Parâmetros numéricos:
R=0{,}3\;\text{cm},\; D=2\times10^{-6}\;\text{cm}^2/\text{s},\; k_1=0{,}019\;\text{s}^{-1},\; c_{A,\infty}=0{,}02\;\mu\text{mol}/\text{cm}^3.
Logo
\lambda=\sqrt{k_1/D}\approx97{,}5\;\text{cm}^{-1},
\lambda R\approx29{,}3\gg1,
\lambda R\operatorname{cosh}(\lambda R)-\operatorname{sinh}(\lambda R)\approx(\lambda R-1)\operatorname{sinh}(\lambda R)
e
\dot n_A \approx4\pi\,(0{,}3)\,(2\times10^{-6})\,(0{,}02)\,(28{,}3) \;\mu\text{mol}/\text{s} \approx4{,}3\times10^{-6}\;\mu\text{mol}/\text{s}.
Convertendo para \mu\mathrm{mol}/\mathrm{h}:
\dot n_A\approx4{,}3\times10^{-6}\times3600 \approx0{,}015\;\mu\mathrm{mol}/\mathrm{h}.

Resposta

A taxa total de consumo de A por uma cápsula é aproximadamente
0{,}015\;\mu\mathrm{mol}/\mathrm{h}.

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