Um bastão de comprimento 2L, uniformemente carregado com uma densidade de carga
, é encurvado de modo a formar um arco de circunferência com raio
.
Para ângulo central
(anel):
b.3) calcule V para um ponto P situado sobre o eixo de simetria a uma distancia x do centro do anel.
Para ângulo central
b.3) calcule V para um ponto P situado sobre o eixo de simetria a uma distancia x do centro do anel.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de eletrostática. A questão fala sobre um bastão de comprimento
que é carregado uniformemente com uma densidade de carga
. Esse bastão é curvado para formar um anel completo, ou seja, um círculo com raio
. A nossa tarefa aqui é calcular o potencial elétrico
em um ponto
que está sobre o eixo de simetria do anel, a uma distância
do centro desse anel. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o potencial elétrico devido a uma distribuição de carga em forma de círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de carga no anel. Como o bastão original tinha comprimento
e foi curvado para formar um círculo, o comprimento do círculo, que é a circunferência, é igual a
. Sabemos que a circunferência de um círculo é dada por
. Então, temos:
Podemos simplificar isso para encontrar
em termos de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a carga total
no anel. A densidade de carga linear é
, o que significa que a carga por unidade de comprimento. Como o comprimento total do anel é
, a carga total
é:
Passo 4
Vamos lembrar que o potencial elétrico
devido a uma distribuição de carga é calculado usando a fórmula:
Onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é um elemento de carga, -
é a distância entre o elemento de carga e o ponto onde estamos calculando o potencial.
No nosso caso, como o anel é simétrico, podemos simplificar essa integral.
Passo 5
Para o ponto
no eixo de simetria a uma distância
do centro do anel, a distância
de qualquer elemento de carga
ao ponto
é a mesma e pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Isso simplifica a integração porque
é constante para todos os
no anel.
Passo 6
Substituindo
e sabendo que a circunferência é
, a integral se torna:
A integral de
sobre todo o anel é simplesmente o comprimento total do anel, que é
.
Passo 7
Então, substituindo a integral:
Mas lembrando que a carga total
e
, podemos substituir
se necessário, mas vamos deixar a expressão em termos de
e
.
Resposta
O potencial elétrico no ponto
é dado por: