Um bastão de comprimento 2L, uniformemente carregado com uma densidade de carga lambda, é encurvado de modo a formar um arco de circunferência com raio R.
Para ângulo central =2 pi (anel):
b.3) calcule V para um ponto P situado sobre o eixo de simetria a uma distancia x do centro do anel.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de eletrostática. A questão fala sobre um bastão de comprimento 2L que é carregado uniformemente com uma densidade de carga lambda. Esse bastão é curvado para formar um anel completo, ou seja, um círculo com raio R. A nossa tarefa aqui é calcular o potencial elétrico V em um ponto P que está sobre o eixo de simetria do anel, a uma distância x do centro desse anel. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o potencial elétrico devido a uma distribuição de carga em forma de círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de carga no anel. Como o bastão original tinha comprimento 2L e foi curvado para formar um círculo, o comprimento do círculo, que é a circunferência, é igual a 2L. Sabemos que a circunferência de um círculo é dada por C = 2pi R. Então, temos:
2pi R = 2L
Podemos simplificar isso para encontrar R em termos de L:
R = Lpi

Passo 3

Agora, vamos calcular a carga total Q no anel. A densidade de carga linear é lambda, o que significa que a carga por unidade de comprimento. Como o comprimento total do anel é 2L, a carga total Q é:
Q = lambda times 2L

Passo 4

Vamos lembrar que o potencial elétrico V devido a uma distribuição de carga é calculado usando a fórmula:
V = 14pivarepsilon0 integral dqr
Onde:
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo,
  • dq é um elemento de carga,
  • r é a distância entre o elemento de carga dq e o ponto onde estamos calculando o potencial.
No nosso caso, como o anel é simétrico, podemos simplificar essa integral.

Passo 5

Para o ponto P no eixo de simetria a uma distância x do centro do anel, a distância r de qualquer elemento de carga dq ao ponto P é a mesma e pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
r = raizR^2 + x^2
Isso simplifica a integração porque r é constante para todos os dq no anel.

Passo 6

Substituindo dq = lambda , dell e sabendo que a circunferência é 2pi R, a integral se torna:
V = 14pivarepsilon0 integral lambda , dellraizR^2 + x^2 = lambda4pivarepsilon0 raizR^2 + x^2 integral dell
A integral de dell sobre todo o anel é simplesmente o comprimento total do anel, que é 2pi R.

Passo 7

Então, substituindo a integral:
V = lambda4pivarepsilon0 raizR^2 + x^2 times 2pi R = lambda times 2pi R4pivarepsilon0 raizR^2 + x^2 = lambda R2varepsilon0 raizR^2 + x^2
Mas lembrando que a carga total Q = 2lambda L e R = Lpi, podemos substituir R se necessário, mas vamos deixar a expressão em termos de lambda e R.

Resposta

O potencial elétrico no ponto P é dado por:
V = lambda R2, varepsilon0 raizR^2 + x^2

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