Considere uma casca esférica de raio interno R1 e externo R2, de material isolante, uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga rho.
a) calcular o potencial elétrico em todo o espaço, para pontos P(r) com:
a.3) r

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado fala sobre uma casca esférica com raio interno R1 e externo R2, feita de material isolante e com uma densidade volumétrica de carga rho. A matéria que vamos usar aqui é da Eletrostática, especificamente envolvendo o cálculo do potencial elétrico em diferentes regiões ao redor e dentro da casca. Nosso objetivo é calcular o potencial elétrico em pontos P(r) onde r < R1, ou seja, dentro da cavidade da casca.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o potencial elétrico é uma medida da energia potencial por unidade de carga em um ponto no espaço devido a outras cargas. Para calcular o potencial em um ponto dentro da cavidade ( r < R1), vamos usar o Princípio da Superposição e considerar a contribuição das cargas presentes na casca.

Passo 3

Dentro da cavidade ( r < R1), se imaginarmos uma superfície esférica de raio r, não há carga dentro dessa superfície porque a casca começa no raio R1. Segundo a Lei de Gauss, o campo elétrico dentro da cavidade é zero. Se o campo elétrico E é zero, o potencial elétrico V é constante nessa região.

Passo 4

Para determinar o valor desse potencial constante, vamos calcular o potencial na superfície interna da casca, ou seja, no ponto onde r = R1. O potencial em R1 será o mesmo para qualquer ponto dentro da cavidade, já que o campo elétrico é nulo.

Passo 5

Agora, calculamos o potencial elétrico na superfície interna R1. Para isso, consideramos toda a carga presente na casca esférica. A carga total Q na casca é dada pela densidade volumétrica de carga rho multiplicada pelo volume da casca:
Q = rho cdot 43 pi (R2^3 - R1^3)

Passo 6

O potencial elétrico devido a uma distribuição de carga esférica a uma distância R1 do centro é dado por:
V(R1) = 14 pi varepsilon0 cdot QR1
Substituindo Q na expressão:
V(R1) = 14 pi varepsilon0 cdot rho cdot 43 pi (R2^3 - R1^3)R1

Passo 7

Simplificando a expressão:
V(R1) = rho (R2^3 - R1^3)3 varepsilon0 R1

Resposta

Portanto, o potencial elétrico para pontos r < R1 é:
V(r) = rho (R2^3 - R1^3)3 varepsilon0 R1

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