Considere uma casca esférica de raio interno R1 e externo R2, de material isolante, uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga rho.
b) calcular o potencial elétrico para pontos P situados em:
b.3) no centro de curvatura

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma casca esférica com raio interno $ R_1 $ e externo $ R_2 $, feita de material isolante e com densidade de carga uniforme $ \rho $. A gente precisa calcular o potencial elétrico no centro de curvatura dessa casca. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o cálculo do potencial elétrico devido a uma distribuição de carga contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é potencial elétrico. O potencial elétrico $ V $ em um ponto é a energia potencial por unidade de carga que uma carga de teste teria nesse ponto. Matematicamente, para uma distribuição de carga, o potencial em um ponto $ P $ é dado por:
V
Aqui, $ \rho $ é a densidade de carga, $ r $ é a distância entre um elemento de carga $ dV $ e o ponto $ P $, e $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

No nosso caso, queremos calcular o potencial no centro da casca esférica. Devido à simetria esférica, todos os elementos de carga na casca estarão a uma distância $ r $ igual ao raio da casca $ a $ em relação ao centro. Assim, a fórmula do potencial simplifica para:
r

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral $ \int \frac{1}{a} , dV $. Como a casca tem espessura, o raio $ a $ varia de $ R_1 $ a $ R_2 $. Em coordenadas esféricas, o volume diferencial $ dV $ é dado por:
integral 1a , dV
Substituindo na integral:
a

Passo 5

Vamos resolver a integral:
4pi integralR1^R2 a , da = 4pi [ a^22 ]R1^R2 = 4pi ( R2^22 - R1^22 ) = 2pi (R2^2 - R1^2)

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral de volta na expressão do potencial:
V = rho4pivarepsilon0 cdot 2pi (R2^2 - R1^2) = rho2varepsilon0 (R2^2 - R1^2)

Resposta

O potencial elétrico no centro de curvatura da casca esférica é:
V = rho2varepsilon0 ( R2^2 - R1^2 )

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