Considere uma casca esférica de raio interno
e externo
, de material isolante, uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga
.
b) calcular o potencial elétrico para pontos P situados em:
b.3) no centro de curvatura
b) calcular o potencial elétrico para pontos P situados em:
b.3) no centro de curvatura
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma casca esférica com raio interno $ R_1 $ e externo $ R_2 $, feita de material isolante e com densidade de carga uniforme $ \rho $. A gente precisa calcular o potencial elétrico no centro de curvatura dessa casca. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o cálculo do potencial elétrico devido a uma distribuição de carga contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é potencial elétrico. O potencial elétrico $ V $ em um ponto é a energia potencial por unidade de carga que uma carga de teste teria nesse ponto. Matematicamente, para uma distribuição de carga, o potencial em um ponto $ P $ é dado por:
Aqui, $ \rho $ é a densidade de carga, $ r $ é a distância entre um elemento de carga $ dV $ e o ponto $ P $, e $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
No nosso caso, queremos calcular o potencial no centro da casca esférica. Devido à simetria esférica, todos os elementos de carga na casca estarão a uma distância $ r $ igual ao raio da casca $ a $ em relação ao centro. Assim, a fórmula do potencial simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral $ \int \frac{1}{a} , dV $. Como a casca tem espessura, o raio $ a $ varia de $ R_1 $ a $ R_2 $. Em coordenadas esféricas, o volume diferencial $ dV $ é dado por:
Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral de volta na expressão do potencial:
Resposta
O potencial elétrico no centro de curvatura da casca esférica é: