Um bastão de comprimento L está carregado com a densidade de carga não é uniforme (varia de ponto a ponto do bastão), variando segundo
, sendo
a distancia de sua extremidade esquerda a um ponto qualquer do bastão. Calcule a carga elétrica total contida no bastão.
Passo 1
Beleza, vamos topar esse desafio! A gente tem um bastão de comprimento $ L $ com uma densidade de carga que muda ao longo dele, dada por $ \lambda(x) = A \cdot x^{3} $. Nosso objetivo é calcular a carga elétrica total presente nesse bastão. Para isso, vamos precisar usar conceitos de integração, que nos permitem somar infinitas pequenas partes para encontrar um total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a densidade de carga $ \lambda(x) $. Ela nos diz quanta carga elétrica está presente por unidade de comprimento em cada ponto $ x $ do bastão. Como $ \lambda(x) $ varia com $ x $, a carga não está distribuída de forma uniforme.
Passo 3
Para encontrar a carga total $ Q $ no bastão, precisamos somar todas as pequenas cargas ao longo de todo o comprimento do bastão. Isso é feito através de uma integral da densidade de carga de $ x = 0 $ até $ x = L $:
Passo 4
Substituindo $ \lambda(x) $ pela função dada:
Agora, vamos resolver essa integral. A integral de $ x^{3} $ em relação a $ x $ é $ \frac{x^{4}}{4} $. Então:
Passo 5
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A carga elétrica total contida no bastão é $ Q = \frac{A \cdot L^{4}}{4} $.