Calcule, usando integração, a área de um retângulo de lados A e B, considerando a origem do sistema de coordenadas em um dos vértices. Refaça o cálculo colocando a origem no centro do retângulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um retângulo com lados $ A $ e $ B $ usando integração. Primeiro, vamos considerar a origem do sistema de coordenadas em um dos vértices do retângulo. Depois, refazemos o cálculo colocando a origem no centro do retângulo. Para isso, vamos precisar lembrar como configurar integrais duplas para encontrar áreas e como a posição da origem afeta os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a origem no vértice do retângulo. Imagine que o retângulo está no primeiro quadrante, com um vértice na origem
. Os lados $ A $ e $ B $ estarão alinhados com os eixos $ x $ e $ y $, respectivamente.
Passo 3
Agora, para encontrar a área usando integração, vamos configurar uma integral dupla sobre a região do retângulo. A área $ S $ pode ser calculada assim:
Aqui, $ x $ varia de $ 0 $ a $ A $ e, para cada $ x $, $ y $ varia de $ 0 $ a $ B $.
Passo 4
Vamos resolver a integral. Primeiro, integremos em relação a $ y $:
Agora, integramos em relação a $ x $:
Então, a área $ S $ é igual a $ A \times B $.
Passo 5
Agora, vamos colocar a origem no centro do retângulo. Nesse caso, os limites de integração mudam. O retângulo agora vai de $ x = -\frac{A}{2} $ a $ x = \frac{A}{2} $ e de $ y = -\frac{B}{2} $ a $ y = \frac{B}{2} $.
Passo 6
Configurando a integral dupla com a origem no centro:
Vamos resolver da mesma forma: primeiro em $ y $, depois em $ x $.
Passo 7
Integrando primeiro em $ y $:
Agora, integrando em $ x $:
Resposta
Em ambos os casos, a área do retângulo é $ A \times B $.