Calcule, usando integração, a área da superfície e o volume de uma esfera maciça de raio R. O que muda se a esfera não for maciça, mas oca, com raio interno R1 e externo R2…esse corpo é chamado de casca esférica.
Passo 1
Vamos resolver um exercício que pede para calcular, usando integração, a área da superfície e o volume de uma esfera maciça com raio $ R $. Depois, vamos ver como muda isso se a esfera for oca, com raio interno $ R_1 $ e externo $ R_2 $, conhecida como casca esférica. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo integral aplicado a geometria das esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da superfície de uma esfera maciça de raio $ R $. A fórmula para a área da superfície de uma esfera é dada por:
Isso significa que a área é proporcional ao quadrado do raio da esfera.
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume dessa mesma esfera maciça. A fórmula para o volume de uma esfera é:
Aqui, o volume é proporcional ao cubo do raio.
Passo 4
Vamos passar para a segunda parte do exercício, onde a esfera não é maciça, mas oca, formando uma casca esférica com raio interno $ R_1 $ e externo $ R_2 $. Nesse caso, precisamos calcular a área da superfície externa e interna, além do volume da casca.
Passo 5
A área da superfície externa da casca esférica é:
E a área da superfície interna é:
Passo 6
Para encontrar o volume da casca esférica, subtraímos o volume da esfera interna do volume da esfera externa:
Resposta
A área da superfície da esfera maciça é $ 4\pi R^2 $ e o volume é $ \frac{4}{3}\pi R^3 $. Para uma casca esférica com raio interno $ R_1 $ e externo $ R_2 $, a área das superfícies externa e interna são $ 4\pi R_2^2 $ e $ 4\pi R_1^2 $, respectivamente, e o volume é $ \frac{4}{3}\pi (R_2^3 - R_1^3) $.