Um potencial é dado pela expressão
V(x, y, z)=k Qraiz(x-a)^2+y^2+z^2,
Determine o vetor campo elétrico. Que distribuição de carga você acha que gerou esse potencial?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o potencial eletrostático é
V(x,y,z) ;=; k,Qraiz(x - a)^2 + y^2 + z^2
Aqui o conteúdo é: transformar potencial em campo elétrico usando
.
Pra isso a gente vai precisar lembrar como calcular derivadas parciais e montar o gradiente. No final, a gente vai interpretar qual arranjo de carga gera esse .

Passo 2

Vamos escrever o gradiente de R = raiz(x - a)^2 + y^2 + z^2 . Defina
V = kQR
Então
partial Vpartial x,; partial Vpartial y,; partial Vpartial z
O gradiente tem componentes
E o campo elétrico é .

Passo 3

Calculemos cada derivada parcial. Primeiro note que
partialpartial xl(tfrac1Rr) = -1R^2,partial Rpartial x e partial Rpartial x = 12R,2(x - a) = x - aR
Logo
partial Vpartial x = kQ ,l(-1R^2r),x - aR = -,kQ,x - aR^3
Do mesmo jeito, como partial Vpartial y = -,kQ,yR^3, partial Vpartial z = -,kQ,zR^3 depende de y e z de forma análoga, obtemos

Passo 4

Agora montamos E(x,y,z) = -l(partial Vpartial x,,partial Vpartial y,,partial Vpartial zr) = kQ,(x - a),hatimath + y,hatjmath + z,hat kl((x - a)^2 + y^2 + z^2r)^3/2 . Invertendo o sinal das derivadas:

Passo 5

Pra concluir, qual distribuição de carga gera esse potencial?
Esse é exatamente o potencial de uma carga pontual localizada no ponto . Em outras palavras, um ponto carregado de em , , .

Resposta

boxed E(x,y,z) = k,Q;(x - a),hatimath ;+; y,hatjmath ;+; z,hat k l((x - a)^2 + y^2 + z^2r)^3/2, e a carga é um ponto- carga (Q) em ((a,0,0)) é

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