Um campo elétrico é dados pela expressão E=y 1+x jmath. Ache a expressão do potencial elétrico. Resp.: V(x, y)=-x cdot y+ cte. Sugest. Use que E=-nabla V.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede. A gente tem um campo elétrico dado por
E(x,y) = y,imath ;+; x,jmath
E o objetivo é encontrar o potencial elétrico E = -nabla V associado a esse campo, sabendo que
Isso é parte de eletrostática: relacionar campo elétrico e potencial via o operador gradiente. Para resolver, vamos usar a definição de gradiente e integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, lembre que o gradiente de nabla V = partial Vpartial x,imath ;+; partial Vpartial y,jmath em coordenadas cartesianas é
Ex = y = -partial Vpartial x, Ey = x = -partial Vpartial y
Como -partial Vpartial x = y Longrightarrow partial Vpartial x = -y , temos as igualdades de componentes:
Vamos começar integrando a primeira:

Passo 3

Agora integramos V(x,y) = integral (-y),dx = -y,x + f(y), em relação a , tratando como constante:
onde é uma “função de só” que aparece porque, ao derivar em , ela some.

Passo 4

Para achar -partial Vpartial y = x Longrightarrow partial Vpartial y = -x , usamos a outra igualdade de componente:
partial Vpartial y = partialpartial y(-xy) ;+; f'(y) = -x + f'(y)
Agora derivamos nossa expressão - x + f'(y) = -x Longrightarrow f'(y) = 0 em relação a :
Isso tem que ser igual a . Logo,
Logo é constante. Chama ela de .

Resposta

O potencial elétrico que gera boxedV(x,y) = -,x,y + C, é
com sendo uma constante arbitrária.

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