Um bastão de comprimento L está posicionado ao longo do eixo y com o centro na origem do sistema de coordenadas. O bastão tem uma densidade linear de carga não-uniforme lambda=a|y|, onde a é uma constante com unidade C / m^2. (a) Desenhe um gráfico de lambda versus y englobando todo o comprimento do bastão. (b) Determine a constante a em função de L e da carga total Q do bastão. (c) Determine a intensidade do campo elétrico criado pelo bas- tão a uma distância x sobre o eixo x.

Passo 1

O enunciado nos dá um bastão de comprimento L sobre o eixo y, centrado na origem (ou seja vai de y=-L/2 até y=+L/2), com densidade linear de carga não uniforme
lambda(y)=a,|y|,
e pede:
(a) o gráfico de lambda versus y,
(b) o valor de a em função de L e da carga total Q,
(c) o campo elétrico no ponto (x,0) sobre o eixo x.
Para resolver, vamos usar:
– Cálculo de carga total via Q=integral lambda(y),dy.
– Superposição e simetria para o campo elétrico, escrevendo
dEx = k,dqr^2costheta
e integrando ao longo de y.

Passo 2

(a) Como lambda(y)=a|y|, a densidade vale zero em y=0 e cresce linearmente até |y|=L/2. O gráfico é um “V” simétrico em torno de y=0, com ramos retos de inclinação a para y>0 e de inclinação -a para y<0, atingindo lambda(L/2)=a,L/2.

Passo 3

(b) A carga total é
Q=integral-L/2^L/2 lambda(y),dy =integral-L/2^L/2 a|y|,dy =2aintegral0^L/2y,dy =2a,(L/2)^22 =a,L^24
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a=4QL^2

Passo 4

(c) Para um ponto sobre o eixo x, pela simetria só fica componente Ex. Escrevendo
dq=lambda(y),dy =a|y|,dy, r=raizx^2+y^2, costheta=xr,
temos
Ex =2integral0^L/2 ( k,dqr^2costheta ) =2k,xintegral0^L/2! a,y,dy(x^2+y^2)^3/2,
onde k=1/(4pivarepsilon0).

Passo 5

Avaliaremos
I=integral0^L/2y,dy(x^2+y^2)^3/2
Como
ddy!l[,-1raizx^2+y^2,r] =y(x^2+y^2)^3/2,
segue
I =l[-1raizx^2+y^2r]0^L/2 =1x-1raizx^2+(L/2)^2
Então
Ex =2k,a,x,I =2k,al( 1-xraizx^2+(L/2)^2 r)
Substituindo a=4Q/L^2 e k=1/(4pivarepsilon0), obtemos
Ex =2Qpivarepsilon0L^2 l( 1-xraizx^2+L^2/4 r)

Resposta

(a) Gráfico de lambda(y)=a|y|: um “V” simétrico zero em y=0, crescendo até lambda=tfracaL2 em y=pm L/2.
(b) a=4QL^2
(c) vec E(x,0) =Ex,hatimath com
Ex =2Qpivarepsilon0L^2 l( 1-xraizx^2+L^2/4 r),
direcionado ao longo de hatimath.

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