Considere um dipolo elétrico de tamanho d cujas as suas cargas +q e -q estão localizadas, respectivamente, em (0, y) e (0,-y). Calcule o campo elétrico localizado em um ponto (x, 0) no eixo x. Investigue o limite quando y gg d. Resposta: E dip =q4 pi epsilon0[2 d y(y-12 d)^2)(y+12 d)^2].

Passo 1

O problema descreve um dipolo elétrico de momento de dipolo p=q,d, com cargas +q e -q localizadas nos pontos l(0, +tfrac d2r) e l(0, -tfrac d2r). Queremos calcular o campo elétrico no ponto l(x,0r) sobre o eixo do dipolo usando a superposição de Coulomb.

Passo 2

A contribuição da carga +q a uma distância l|x-tfrac d2r| ao longo do eixo é
E+ = 14piepsilon0;ql(x-tfrac d2r)^2
no sentido positivo de x, e a da carga -q a uma distância l|x+tfrac d2r| é
E- = 14piepsilon0;-ql(x+tfrac d2r)^2
também ao longo de x. Pelo princípio da superposição,
Edip = E+ + E- = q4piepsilon0gl(1l(x-tfrac d2r)^2 - 1l(x+tfrac d2r)^2gr)

Passo 3

Para simplificar, colocamos num único quociente:
Edip = q4piepsilon0 ;l(x+tfrac d2r)^2-l(x-tfrac d2r)^2 l(x-tfrac d2r)^2,l(x+tfrac d2r)^2
No numerador aparece
l(x+tfrac d2r)^2-l(x-tfrac d2r)^2 = (x^2 + x d + tfracd^24) - (x^2 - x d + tfracd^24) = 2,x,d,
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Edip = q4piepsilon0 ;2,x,d l(x-tfrac d2r)^2,l(x+tfrac d2r)^2

Passo 4

Portanto a expressão exata do campo no ponto (x,0) é
Edip = q4piepsilon0 ;2,d,x l(x-tfrac d2r)^2,l(x+tfrac d2r)^2

Passo 5

Para xgg d podemos aproximar l(xpmtfrac d2r)approx x, de modo que
Edip approx q4piepsilon0 ;2,d,xx^4 = 14piepsilon0;2,q,dx^3 = 14piepsilon0;2,px^3,
onde p=q,d é o momento de dipolo.

Resposta

Edip = q4piepsilon0 ;2,d,x l(x-tfrac d2r)^2,l(x+tfrac d2r)^2, Edip(xgg d)approx 14piepsilon0;2,px^3

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