Um bastão de comprimento 2 L , uniformemente carregado com uma densidade de carga
, é encurvado de modo a formar um arco de circunferência com raio
.
calcular o potencial no centro de curvatura. Analise o resultado para varios valoes de ângulo central:
. e
calcular o potencial no centro de curvatura. Analise o resultado para varios valoes de ângulo central:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de eletricidade estática onde um bastão de comprimento
está uniformemente carregado com uma densidade de carga
. Esse bastão é curvado para formar um arco de circunferência com raio
. Nosso objetivo aqui é calcular o potencial elétrico no centro de curvatura desse arco. Além disso, vamos dar uma olhada em como esse potencial muda quando o ângulo central do arco é
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de potencial elétrico devido a cargas distribuídas e fazer umas integrações bacanas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. Imagine um bastão que, antes reto, agora está dobrado formando um arco de círculo com raio
. O centro desse círculo é o ponto onde queremos calcular o potencial elétrico. A densidade de carga
significa que cada pedacinho do bastão carrega uma carga proporcional ao seu comprimento.
Como o bastão tem comprimento total
e está formando um arco de raio
, podemos relacionar o comprimento do arco com o ângulo central
usando a fórmula:
Então,
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que o potencial elétrico
devido a uma carga pontual é dado por:
onde
é a constante eletrostática,
é a carga e
é a distância até o ponto onde estamos calculando o potencial.
Mas como temos uma distribuição contínua de carga, precisamos integrar esse potencial ao longo de todo o arco. Para isso, consideramos um elemento infinitesimal de carga
localizado em um ponto do arco. O potencial devido a esse
no centro de curvatura será:
Aqui,
é constante porque todos os pontos do arco estão a uma distância
do centro.
Passo 4
Vamos agora expressar
em termos de
e um elemento de comprimento
:
Substituindo na expressão do potencial:
Para encontrar o potencial total
, integramos
ao longo de todo o arco:
A integral
é simplesmente o comprimento total do arco, que já sabemos ser
:
Passo 5
Agora, vamos analisar o resultado para diferentes valores do ângulo central
:
-
Para
:
Sabemos que, então: Substituindo na expressão do potencial: -
Para
: Substituindo na expressão do potencial:
Resposta
O potencial elétrico no centro de curvatura é dado por $ V = \frac{2 k \lambda L}{R} $. Especificamente:
- Para um ângulo central de
, $ V = k \lambda \pi $. - Para um ângulo central de
, $ V = 2 k \lambda \pi $.