Um bastão de comprimento 2 L , uniformemente carregado com uma densidade de carga lambda, é encurvado de modo a formar um arco de circunferência com raio R.
calcular o potencial no centro de curvatura. Analise o resultado para varios valoes de ângulo central: pi. e 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de eletricidade estática onde um bastão de comprimento 2L está uniformemente carregado com uma densidade de carga lambda. Esse bastão é curvado para formar um arco de circunferência com raio R. Nosso objetivo aqui é calcular o potencial elétrico no centro de curvatura desse arco. Além disso, vamos dar uma olhada em como esse potencial muda quando o ângulo central do arco é pi e 2pi. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de potencial elétrico devido a cargas distribuídas e fazer umas integrações bacanas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. Imagine um bastão que, antes reto, agora está dobrado formando um arco de círculo com raio R. O centro desse círculo é o ponto onde queremos calcular o potencial elétrico. A densidade de carga lambda significa que cada pedacinho do bastão carrega uma carga proporcional ao seu comprimento.
Como o bastão tem comprimento total 2L e está formando um arco de raio R, podemos relacionar o comprimento do arco com o ângulo central theta usando a fórmula:
Comprimento do arco = R theta
Então, 2L = R theta, ou seja, theta = 2LR.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o potencial elétrico V devido a uma carga pontual é dado por:
V = k qr
onde k é a constante eletrostática, q é a carga e r é a distância até o ponto onde estamos calculando o potencial.
Mas como temos uma distribuição contínua de carga, precisamos integrar esse potencial ao longo de todo o arco. Para isso, consideramos um elemento infinitesimal de carga dq localizado em um ponto do arco. O potencial devido a esse dq no centro de curvatura será:
dV = k , dqR
Aqui, R é constante porque todos os pontos do arco estão a uma distância R do centro.

Passo 4

Vamos agora expressar dq em termos de lambda e um elemento de comprimento ds:
dq = lambda , ds
Substituindo na expressão do potencial:
dV = k lambda , dsR
Para encontrar o potencial total V, integramos dV ao longo de todo o arco:
V = integral dV = k lambdaR integral ds
A integral integral ds é simplesmente o comprimento total do arco, que já sabemos ser 2L:
V = k lambdaR times 2L = 2 k lambda LR

Passo 5

Agora, vamos analisar o resultado para diferentes valores do ângulo central theta:
  1. Para theta = pi:
    Sabemos que theta = 2LR, então:
    pi = 2LR implies R = 2Lpi
    Substituindo na expressão do potencial:
    V = 2 k lambda L2Lpi = k lambda pi
  2. Para theta = 2pi:
    2pi = 2LR implies R = Lpi
    Substituindo na expressão do potencial:
    V = 2 k lambda LLpi = 2 k lambda pi

Resposta

O potencial elétrico no centro de curvatura é dado por $ V = \frac{2 k \lambda L}{R} $. Especificamente:
  • Para um ângulo central de V = 2 k lambda LR , $ V = k \lambda \pi $.
  • Para um ângulo central de pi, $ V = 2 k \lambda \pi $.

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