Uma meia esfera maciça, de raio R, está uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga rho. Calcular V no centro de curvatura.

Passo 1

Bom, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma meia esfera (ou seja, metade de uma esfera completa) com raio $ R $, que está carregada de forma uniforme com uma densidade de carga volumétrica $ \rho $. O objetivo é calcular o potencial elétrico $ V $ no centro de curvatura dessa meia esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente o cálculo do potencial elétrico devido a uma distribuição de carga contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o potencial elétrico $ V $ em um ponto devido a uma distribuição de carga. A fórmula geral para o potencial elétrico causado por uma distribuição de carga volumétrica $ \rho $ é:
V
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, $ r $ é a distância entre um elemento de volume $ dV $ da carga e o ponto onde estamos calculando o potencial (no caso, o centro de curvatura), e a integral é feita sobre todo o volume carregado.

Passo 3

Vamos identificar as coordenadas para facilitar a integração. Suponha que o centro de curvatura esteja na origem do sistema de coordenadas. Assim, a meia esfera se estende na direção positiva do eixo $ z $. Em coordenadas esféricas, um elemento de volume $ dV $ pode ser expresso como:
z
Como a meia esfera tem raio $ R $ e está uniformemente carregada, podemos definir os limites da integração: $ r $ vai de 0 a $ R $, $ \theta $ vai de 0 a $ \pi/2 $ (já que é apenas metade da esfera), e $ \phi $ vai de 0 a $ 2\pi $.
Além disso, a distância $ r $ no denominador da integral é simplesmente a distância do ponto de cálculo (origem) até o elemento de carga, que em coordenadas esféricas é $ r $ mesmo. Portanto, a expressão do potencial fica:
dV

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral passo a passo. Simplificando a expressão:
V = rho4pi varepsilon0 integral0^R integral0^pi/2 integral0^2pi r sintheta , dphi , dtheta , dr
Primeiro, integramos em relação a $ \phi $:
phi
Isso simplifica a expressão para:
integral0^2pi dphi = 2pi
Integrando em relação a $ \theta $:
V = rho4pi varepsilon0 cdot 2pi integral0^R integral0^pi/2 r sintheta , dtheta , dr = rho2 varepsilon0 integral0^R ( integral0^pi/2 sintheta , dtheta ) r , dr
Portanto:
theta

Resposta

O potencial elétrico $ V $ no centro de curvatura da meia esfera é:
V

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