Uma meia esfera maciça, de raio , está uniformemente carregada com uma densidade volumétrica de carga . Calcular V no centro de curvatura.
Passo 1
Bom, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma meia esfera (ou seja, metade de uma esfera completa) com raio $ R $, que está carregada de forma uniforme com uma densidade de carga volumétrica $ \rho $. O objetivo é calcular o potencial elétrico $ V $ no centro de curvatura dessa meia esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente o cálculo do potencial elétrico devido a uma distribuição de carga contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o potencial elétrico $ V $ em um ponto devido a uma distribuição de carga. A fórmula geral para o potencial elétrico causado por uma distribuição de carga volumétrica $ \rho $ é:
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, $ r $ é a distância entre um elemento de volume $ dV $ da carga e o ponto onde estamos calculando o potencial (no caso, o centro de curvatura), e a integral é feita sobre todo o volume carregado.
Passo 3
Vamos identificar as coordenadas para facilitar a integração. Suponha que o centro de curvatura esteja na origem do sistema de coordenadas. Assim, a meia esfera se estende na direção positiva do eixo $ z $. Em coordenadas esféricas, um elemento de volume $ dV $ pode ser expresso como:
Como a meia esfera tem raio $ R $ e está uniformemente carregada, podemos definir os limites da integração: $ r $ vai de 0 a $ R $, $ \theta $ vai de 0 a $ \pi/2 $ (já que é apenas metade da esfera), e $ \phi $ vai de 0 a $ 2\pi $.
Além disso, a distância $ r $ no denominador da integral é simplesmente a distância do ponto de cálculo (origem) até o elemento de carga, que em coordenadas esféricas é $ r $ mesmo. Portanto, a expressão do potencial fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral passo a passo. Simplificando a expressão:
Primeiro, integramos em relação a $ \phi $:
Isso simplifica a expressão para:
Integrando em relação a $ \theta $:
Portanto:
Resposta
O potencial elétrico $ V $ no centro de curvatura da meia esfera é: