5 Um bastão fino de vidro carregado com carga +Q é encurvado de modo a formar um semicírculo de Raio R. Qual o campo elétrico no centro de curvatura P do semicírculo?

Passo 1

O enunciado dá um bastão fino com carga total \,Q, encurvado formando um semicírculo de raio \,R, e pede o campo elétrico no ponto P, que é o centro de curvatura (ou seja, o centro do semicírculo). Informações relevantes que vamos usar:
  • carga total: \,Q;
  • raio do semicírculo: \,R;
  • o bastão é fino e a carga está distribuída ao longo do arco (assumimos distribuição linear uniforme, pois não foi dito o contrário);
  • ponto onde queremos o campo: o centro do semicírculo, chamado P.
    Pergunta clara: achar o vetor campo elétrico \vec{E} em P (módulo e direção).

Passo 2

Escolha do método e ideias iniciais (bem devagar): vamos dividir o semicírculo em pequenos pedaços de carga, calcular o campo diferencial que cada pedaço produz em P usando a lei de Coulomb, projetar esse campo em componentes, integrar ao longo do semicírculo e somar vetorialmente. Isso funciona bem porque o problema tem simetria angular e a distância de cada pedaço até P é sempre \,R, (constante), o que simplifica a integral.
Vou colocar o semicírculo no plano xy com o centro P na origem. Tomo o semicírculo ocupando a metade superior do círculo, isto é, os pontos descritos por \theta variando de \,0 a \,\pi (ângulo medido a partir do eixo x positivo). Assim um ponto do arco tem coordenadas \,(R\cos\theta,\;R\sin\theta).

Passo 3

Definições dos elementos e da lei de Coulomb (aula rápida):
  • densidade linear de carga (uniforme): \displaystyle \lambda=\frac{Q}{\text{comprimento do arco}}=\frac{Q}{\pi R}. Aqui a comprimento do semicírculo é \pi R.
  • elemento de comprimento de arco: \displaystyle ds=R\,d\theta.
  • elemento de carga: \displaystyle dq=\lambda\,ds=\lambda R\,d\theta.
  • constante eletrostática: \displaystyle k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}.
    A lei de Coulomb para um elemento puntiforme dq situado a uma distância r do ponto onde calculamos o campo diz:
d\vec{E}=k\,\frac{dq}{r^{2}}\,\hat{r},
onde \hat{r} é o versor que aponta do elemento carregado para o ponto onde se mede o campo. No nosso caso r=R (distância do elemento até P é sempre R).

Passo 4

Expressão do campo diferencial (vetorial) produzido por um elemento em termos do ângulo \theta.
Para um elemento em ângulo \theta temos \,dq=\lambda R\,d\theta e a direção do campo em P é radial, apontando do elemento para o centro (para cargas positivas o campo no centro aponta na direção de -\vec{r}', onde \vec{r}' é a posição do elemento). Em componentes:
d\vec{E}=-\,k\,\frac{dq}{R^{2}}\big(\cos\theta\,\hat{\imath}+\sin\theta\,\hat{\jmath}\big).
Substituindo dq:
d\vec{E}=-\,k\,\frac{\lambda R\,d\theta}{R^{2}}\big(\cos\theta\,\hat{\imath}+\sin\theta\,\hat{\jmath}\big) =-\,\frac{k\lambda}{R}\big(\cos\theta\,\hat{\imath}+\sin\theta\,\hat{\jmath}\big)d\theta.

Passo 5

Integração das componentes x e y separadamente (muito importante: vetores somam componente a componente).
Componente x:
E_x=\int_{0}^{\pi} dE_x=\int_{0}^{\pi}\left(-\frac{k\lambda}{R}\cos\theta\right)d\theta =-\frac{k\lambda}{R}\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta.
Calcule a integral:
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta=\sin\theta\Big|_{0}^{\pi}=\sin\pi-\sin 0=0-0=0.
Logo
E_x=0.
Isto faz sentido por simetria: os contributions horizontais de elementos simétricos à esquerda/direita se cancelam.

Passo 6

Agora a componente y:
E_y=\int_{0}^{\pi} dE_y=\int_{0}^{\pi}\left(-\frac{k\lambda}{R}\sin\theta\right)d\theta =-\frac{k\lambda}{R}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta.
Calcule a integral:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=\big(-\cos\theta\big)\Big|_{0}^{\pi}=-\cos\pi-(-\cos 0)= -(-1)-(-1)=1+1=2.
Portanto
E_y=-\frac{k\lambda}{R}\cdot 2 = -\frac{2k\lambda}{R}.
O sinal negativo indica que o vetor campo aponta no sentido negativo do eixo y (isto é, para baixo), o que tem sentido físico: com o semicírculo na metade superior, os campos inclinados para baixo somam resultando num campo apontando para o lado plano (para baixo).

Passo 7

Substituindo \lambda e k para obter a forma final (organizada de maneira comum):
Temos \displaystyle \lambda=\frac{Q}{\pi R} e \displaystyle k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}. Então
E_y=-\frac{2k\lambda}{R} =-\frac{2}{R}\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\right)\left(\frac{Q}{\pi R}\right) =-\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\right)\frac{2Q}{\pi R^{2}}.
Assim, o vetor campo elétrico em P é
\boxed{\displaystyle \vec{E}=-\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\right)\frac{2Q}{\pi R^{2}}\,\hat{\jmath}}
no sistema em que o semicírculo está na meia-plano superior. Em palavras: o módulo é \displaystyle \left|\vec{E}\right|=\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\right)\frac{2Q}{\pi R^{2}} e a direção é para o lado plano do semicírculo (para o eixo que une o centro ao meio do diâmetro), apontando para o interior do semi-círculo ausente (no exemplo acima: para baixo).

Resposta

\displaystyle \vec{E}=-\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\right)\frac{2Q}{\pi R^{2}}\,\hat{\jmath}

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