5 Um bastão fino de vidro carregado com carga +Q é encurvado de modo a formar um semicírculo de Raio R. Qual o campo elétrico no centro de curvatura P do semicírculo?
Passo 1
O enunciado dá um bastão fino com carga total \,Q, encurvado formando um semicírculo de raio \,R, e pede o campo elétrico no ponto P, que é o centro de curvatura (ou seja, o centro do semicírculo). Informações relevantes que vamos usar:
carga total: \,Q;
raio do semicírculo: \,R;
o bastão é fino e a carga está distribuída ao longo do arco (assumimos distribuição linear uniforme, pois não foi dito o contrário);
ponto onde queremos o campo: o centro do semicírculo, chamado P.
Pergunta clara: achar o vetor campo elétrico \vec{E} em P (módulo e direção).
Passo 2
Escolha do método e ideias iniciais (bem devagar): vamos dividir o semicírculo em pequenos pedaços de carga, calcular o campo diferencial que cada pedaço produz em P usando a lei de Coulomb, projetar esse campo em componentes, integrar ao longo do semicírculo e somar vetorialmente. Isso funciona bem porque o problema tem simetria angular e a distância de cada pedaço até P é sempre \,R, (constante), o que simplifica a integral.
Vou colocar o semicírculo no plano xy com o centro P na origem. Tomo o semicírculo ocupando a metade superior do círculo, isto é, os pontos descritos por \theta variando de \,0 a \,\pi (ângulo medido a partir do eixo x positivo). Assim um ponto do arco tem coordenadas \,(R\cos\theta,\;R\sin\theta).
Passo 3
Definições dos elementos e da lei de Coulomb (aula rápida):
densidade linear de carga (uniforme): \displaystyle \lambda=\frac{Q}{\text{comprimento do arco}}=\frac{Q}{\pi R}. Aqui a comprimento do semicírculo é \pi R.
elemento de comprimento de arco: \displaystyle ds=R\,d\theta.
elemento de carga: \displaystyle dq=\lambda\,ds=\lambda R\,d\theta.
constante eletrostática: \displaystyle k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}.
A lei de Coulomb para um elemento puntiforme dq situado a uma distância r do ponto onde calculamos o campo diz:
d\vec{E}=k\,\frac{dq}{r^{2}}\,\hat{r},
onde \hat{r} é o versor que aponta do elemento carregado para o ponto onde se mede o campo. No nosso caso r=R (distância do elemento até P é sempre R).
Passo 4
Expressão do campo diferencial (vetorial) produzido por um elemento em termos do ângulo \theta.
Para um elemento em ângulo \theta temos \,dq=\lambda R\,d\theta e a direção do campo em P é radial, apontando do elemento para o centro (para cargas positivas o campo no centro aponta na direção de -\vec{r}', onde \vec{r}' é a posição do elemento). Em componentes:
O sinal negativo indica que o vetor campo aponta no sentido negativo do eixo y (isto é, para baixo), o que tem sentido físico: com o semicírculo na metade superior, os campos inclinados para baixo somam resultando num campo apontando para o lado plano (para baixo).
Passo 7
Substituindo \lambda e k para obter a forma final (organizada de maneira comum):
Temos \displaystyle \lambda=\frac{Q}{\pi R} e \displaystyle k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}. Então
no sistema em que o semicírculo está na meia-plano superior. Em palavras: o módulo é \displaystyle \left|\vec{E}\right|=\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\right)\frac{2Q}{\pi R^{2}} e a direção é para o lado plano do semicírculo (para o eixo que une o centro ao meio do diâmetro), apontando para o interior do semi-círculo ausente (no exemplo acima: para baixo).