Para a reação,
, a teoria do estado de transição fornece uma constante de velocidade com a seguinte dependência em temperatura (T).
onde
e
constante. A partir da definição de energia de ativação, encontre a relação entre
e
.
Passo 1
O enunciado dá a constante de velocidade dependente da temperatura:
onde
e
é constante. Pede-se encontrar a relação entre a energia de ativação
e
.
Passo 2
Vamos lembrar a definição usada em cinética química para energia de ativação: ela é a quantidade que aparece ao diferenciar o logaritmo da constante de velocidade em relação a
. A forma usual é
Aqui
é a constante dos gases ideais e
é a temperatura. Vou usar essa fórmula porque ela é direta e prática para funções
.
Passo 3
Calculemos o logaritmo de
. Tomando log natural em ambos os lados:
Expliquei:
vem da constante multiplicativa,
vem do fator de potência
(pois
) e o último termo é direto do exponencial.
Passo 4
Para aplicar a definição precisamos da derivada de
em relação a
. Introduzo
. Reescrevendo
em função de
:
Agora derivamos em relação a
:
Observação: a derivada de
é
e a de
é
.
Passo 5
Aplicamos a definição de energia de ativação:
Substituindo a derivada do passo anterior:
Lembre que
, então
.
Passo 6
Substituindo
obtemos a relação final geral:
Interpretação curta: a presença do fator
acrescenta um termo dependente de
à energia de ativação clássica
. Assim
não é constante, depende da temperatura quando
tem fator de potência.
Passo 7
Finalmente, usando o valor dado
, escrevemos a relação específica: