Para a reação, 2 \mathrm{NO}+\mathrm{Cl}_{2} \rightarrow 2 \mathrm{NOCl}, a teoria do estado de transição fornece uma constante de velocidade com a seguinte dependência em temperatura (T).
k(T)=C T^{n} \exp \left[-E_{0} / R T\right]
onde n=7 / 2 e C= constante. A partir da definição de energia de ativação, encontre a relação entre \mathrm{E}_{\mathrm{a}} e \mathrm{E}_{0}.

Passo 1

O enunciado dá a constante de velocidade dependente da temperatura:
k(T)=C\,T^{n}\exp\left[-\frac{E_{0}}{R T}\right]
onde n=\tfrac{7}{2} e C é constante. Pede-se encontrar a relação entre a energia de ativação \mathrm{E}_{\mathrm{a}} e \mathrm{E}_{0}.

Passo 2

Vamos lembrar a definição usada em cinética química para energia de ativação: ela é a quantidade que aparece ao diferenciar o logaritmo da constante de velocidade em relação a 1/T. A forma usual é
E_{a} = -R\frac{d\ln k}{d(1/T)}.
Aqui R é a constante dos gases ideais e T é a temperatura. Vou usar essa fórmula porque ela é direta e prática para funções k(T).

Passo 3

Calculemos o logaritmo de k(T). Tomando log natural em ambos os lados:
\ln k = \ln C + n\ln T - \frac{E_{0}}{R T}.
Expliquei: \ln C vem da constante multiplicativa, n\ln T vem do fator de potência T^{n} (pois \ln T^{n}=n\ln T) e o último termo é direto do exponencial.

Passo 4

Para aplicar a definição precisamos da derivada de \ln k em relação a 1/T. Introduzo u=\dfrac{1}{T}. Reescrevendo \ln k em função de u:
\ln k = \ln C + n\ln\!\big(\tfrac{1}{u}\big) - \frac{E_{0}}{R}\,u = \ln C - n\ln u - \frac{E_{0}}{R}\,u.
Agora derivamos em relação a u:
\frac{d\ln k}{du} = -\frac{n}{u} - \frac{E_{0}}{R}.
Observação: a derivada de -n\ln u é -n\cdot(1/u) e a de -\tfrac{E_{0}}{R}u é -\tfrac{E_{0}}{R}.

Passo 5

Aplicamos a definição de energia de ativação:
E_{a} = -R\frac{d\ln k}{d(1/T)} = -R\frac{d\ln k}{du}.
Substituindo a derivada do passo anterior:
E_{a} = -R\left(-\frac{n}{u}-\frac{E_{0}}{R}\right) = R\frac{n}{u} + E_{0}.
Lembre que u=1/T, então \dfrac{1}{u}=T.

Passo 6

Substituindo u=1/T obtemos a relação final geral:
E_{a}=E_{0}+nR T.
Interpretação curta: a presença do fator T^{n} acrescenta um termo dependente de T à energia de ativação clássica E_{0}. Assim E_{a} não é constante, depende da temperatura quando k(T) tem fator de potência.

Passo 7

Finalmente, usando o valor dado n=\tfrac{7}{2}, escrevemos a relação específica:
E_{a}=E_{0}+\frac{7}{2}R T.

Resposta

E_{a}=E_{0}+\dfrac{7}{2}R T

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