Um bastão de seção reta circular com raio
é torcido em consequência dos conjugados aplicados ao redor de seu eixo. Mostre que, se
é o ângulo de torção no ponto
da abscissa, existe, nesse ponto, um conjugado
onde
é a área da seção reta.
Passo 1
Tranquilo! O enunciado fala de um bastão de seção circular (raio
) que é torcido em torno do seu eixo. A gente quer mostrar que o torque interno (chamado de “conjugado” no enunciado) num ponto
vale
onde
é a área da seção e
é o módulo de cisalhamento.
Conteúdo: Mecânica dos Materiais – torção de barra circular.
O que vamos precisar:
• Relação entre deformação de cisalhamento e ângulo de torção por comprimento,
• Lei de Hooke em cisalhamento ( ),
• Cálculo do torque resultante integrando as tensões na seção.
Conteúdo: Mecânica dos Materiais – torção de barra circular.
O que vamos precisar:
• Relação entre deformação de cisalhamento e ângulo de torção por comprimento,
• Lei de Hooke em cisalhamento (
• Cálculo do torque resultante integrando as tensões na seção.
Passo 2
Primeiro, lembra que ao torcer a barra cada círculo de raio
“vira” um pouquinho. Essa rotação por unidade de comprimento é
. Logo, a deformação de cisalhamento (ângulo interno que as fibras sofrem) vale
Isso vem de geometria: quanto mais longe do centro (
maior), maior o deslocamento tangencial para dado
.
Passo 3
Agora aplica a Lei de Hooke em cisalhamento:
Isso é a tensão de cisalhamento num ponto a distância
do eixo.
Passo 4
Para achar o torque interno total
(o conjugado), integramos cada pedacinho de área
que exerce uma força de cisalhamento
com braço
:
Agrupando constantes e integrando:
Passo 5
Basta agora usar
, então
. Logo