Um bastão de seção reta circular com raio R é torcido em consequência dos conjugados aplicados ao redor de seu eixo. Mostre que, se theta é o ângulo de torção no ponto x da abscissa, existe, nesse ponto, um conjugado
tau=12 A G R^2(partial theta / partial x)
onde A=pi R^2 é a área da seção reta.

Passo 1

Tranquilo! O enunciado fala de um bastão de seção circular (raio tau ;=;tfrac12,A,G,R^2,partialthetapartial x ) que é torcido em torno do seu eixo. A gente quer mostrar que o torque interno (chamado de “conjugado” no enunciado) num ponto vale
onde é a área da seção e é o módulo de cisalhamento.
Conteúdo: Mecânica dos Materiais – torção de barra circular.
O que vamos precisar:
• Relação entre deformação de cisalhamento e ângulo de torção por comprimento,
• Lei de Hooke em cisalhamento ( ),
• Cálculo do torque resultante integrando as tensões na seção.

Passo 2

Primeiro, lembra que ao torcer a barra cada círculo de raio gamma(r);=;r;partialthetapartial x “vira” um pouquinho. Essa rotação por unidade de comprimento é . Logo, a deformação de cisalhamento (ângulo interno que as fibras sofrem) vale
Isso vem de geometria: quanto mais longe do centro ( maior), maior o deslocamento tangencial para dado .

Passo 3

Agora aplica a Lei de Hooke em cisalhamento:
tau(r);=;G,gamma(r) ;=;G,r,partialthetapartial x
Isso é a tensão de cisalhamento num ponto a distância do eixo.

Passo 4

Para achar o torque interno total tau ;=;integralseção !!l[tau(r)r];r;dA =integral0^R !G,r,partialthetapartial x;times r;times(2pi r,dr) (o conjugado), integramos cada pedacinho de área tau =2pi Gpartialthetapartial x integral0^R r^3,dr =2pi Gpartialthetapartial x,R^44 =pi,G,R^42,partialthetapartial x que exerce uma força de cisalhamento com braço :
çã
Agrupando constantes e integrando:

Passo 5

Basta agora usar tau =12,A,G,R^2;partialthetapartial x , então . Logo

Resposta

boxedtau = 12,A,G,R^2,partialthetapartial x

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