Podemos mostrar que uma onda esférica isotrópica satisfaz a equação diferencial
Verifique se a solução dessa equação é
. Compare com a discussão na Sec. 18.11 para ondas de pressão em um fluido.
Passo 1
Beleza, aqui o exercício diz que uma onda esférica isotrópica satisfaz a equação
Isso é conteúdo de equações de onda em coordenadas esféricas. Para resolver, a gente vai precisar lembrar da regra da cadeia para derivadas parciais e saber que soluções da forma
satisfazem a onda unidimensional
.
Passo 2
A sacada é definir
Agora calculamos as derivadas de
, usando
:
Repara que
então de fato
logo
tem a forma
, e portanto
é solução da equação dada.
Passo 3
Na Sec. 18.11, quando falam de ondas de pressão num fluido, aparece exatamente esse decaimento
da amplitude por causa da geometria esférica (conservação de energia através de uma superfície que cresce como
). Ou seja, a pressão
também varia como
mesma ideia: amplitude cai em
e o perfil se move a velocidade
.
Resposta
A solução da equação
é
é