Podemos mostrar que uma onda esférica isotrópica satisfaz a equação diferencial
partial^2(r xi)partial t^2=v^2 partial^2(r xi)partial r^2
Verifique se a solução dessa equação é xi=(1 / r) f(r pm v t). Compare com a discussão na Sec. 18.11 para ondas de pressão em um fluido.

Passo 1

Beleza, aqui o exercício diz que uma onda esférica isotrópica satisfaz a equação
partial^2(r,xi)partial t^2 = v^2,partial^2(r,xi)partial r^2
Isso é conteúdo de equações de onda em coordenadas esféricas. Para resolver, a gente vai precisar lembrar da regra da cadeia para derivadas parciais e saber que soluções da forma satisfazem a onda unidimensional .

Passo 2

A sacada é definir
u(r,t)equiv r,xi(r,t) e supor u(r,t)=fl(rpm vtr)
Agora calculamos as derivadas de partial^2upartial t^2 = v^2,f''(theta) e partial^2upartial r^2 = f''(theta), , usando partial^2upartial t^2 = v^2,partial^2upartial r^2, :
  1. xi(r,t)=1r,f(rpm vt)
Repara que
então de fato
logo tem a forma , e portanto
é solução da equação dada.

Passo 3

Na Sec. 18.11, quando falam de ondas de pressão num fluido, aparece exatamente esse decaimento p(r,t)propto1r,g(rpm vt), da amplitude por causa da geometria esférica (conservação de energia através de uma superfície que cresce como ). Ou seja, a pressão também varia como
mesma ideia: amplitude cai em e o perfil se move a velocidade .

Resposta

A solução da equação
boxedxi(r,t)=1r,fl(rpm v,tr)
é

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