Suponha um campo xi com uma equação de propagação igual a partial^2 xi / partial t^2=a partial^4 xi / partial x^4, onde a é uma dada constante. Dos resultados precedentes você conclui que esse campo se propaga sem distorção?

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão diz: temos um campo ξ que satisfaz
partial^2 xipartial t^2 ;=; a ,partial^4 xipartial x^4,
onde é uma constante. Isso cai no conteúdo de equações de onda e dispersão: a gente vai precisar achar a relação de dispersão (isto é, como a frequência depende do número de onda ) e ver se a velocidade de fase ou de grupo depende de . Se depender, dá distorção (dispersão).

Passo 2

Para descobrir a relação de dispersão, a gente supõe uma solução de “onda plana”:
xi(x,t) = A ,e^i(kx - omega t),
com constante, o número de onda e a frequência angular. Essa suposição é padrão em PDEs lineares: a derivada só traz fatores de e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais dessa solução:
  1. Segunda derivada temporal:
partial^2xipartial t^2 = partialpartial tl(-iomega A e^i(kx-omega t)r) = -omega^2 ,A e^i(kx-omega t) = -omega^2 ,xi
  1. Quarta derivada espacial:
partial^4xipartial x^4 = (ik)^4 ,A e^i(kx-omega t) = k^4 ,A e^i(kx-omega t) = k^4 ,xi

Passo 4

Substituindo essas derivadas na equação original,
-omega^2,xi ;=; a;k^4,xi longrightarrow omega^2 = a,k^4 longrightarrow omega = pmraiza;k^2
Pronto: essa é a nossa relação de dispersão.

Passo 5

Agora, a gente vê se tem dispersão:
  • Velocidade de fase: vrm ph = omegak = pm raiza;k, que depende de vg = domegadk = ddk(raiza,k^2) = 2raiza;k, .
  • Velocidade de grupo: que também depende de .
Sempre que ou varia com , componentes de onda com diferentes andam a velocidades diferentes. Isso faz o pacote de ondas “espalhar” no tempo—ou seja, ocorre distorção.

Resposta

Não, o campo não se propaga sem distorção. Como a relação de dispersão gera velocidades (fase e grupo) que dependem de , o meio é dispersivo e o pulso se distorce ao longo do percurso.

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