Suponha um campo 
  com uma equação de propagação igual a 
 , onde 
  é uma dada constante. Dos resultados precedentes você conclui que esse campo se propaga sem distorção?
Passo 1
Beleza, olha só o que a questão diz: temos um campo ξ que satisfaz
onde 
  é uma constante. Isso cai no conteúdo de equações de onda e dispersão: a gente vai precisar achar a relação de dispersão (isto é, como a frequência 
  depende do número de onda 
 ) e ver se a velocidade de fase ou de grupo depende de 
 . Se depender, dá distorção (dispersão).
Passo 2
Para descobrir a relação de dispersão, a gente supõe uma solução de “onda plana”:
com 
  constante, 
  o número de onda e 
  a frequência angular. Essa suposição é padrão em PDEs lineares: a derivada só traz fatores de 
  e 
 .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais dessa solução:
- Segunda derivada temporal:
 
- Quarta derivada espacial:
 
Passo 4
Substituindo essas derivadas na equação original,
Pronto: essa 
  é a nossa relação de dispersão.
Passo 5
Agora, a gente vê se tem dispersão:
- Velocidade de fase:
que depende de .  - Velocidade de grupo:
que também depende de .  
Sempre que 
  ou 
  varia com 
 , componentes de onda com diferentes 
  andam a velocidades diferentes. Isso faz o pacote de ondas “espalhar” no tempo—ou seja, ocorre distorção.
Resposta
Não, o campo não se propaga sem distorção. Como a relação de dispersão 
  gera velocidades (fase e grupo) que dependem de 
 , o meio é dispersivo e o pulso se distorce ao longo do percurso.