Suponha um campo
com uma equação de propagação igual a
, onde
é uma dada constante. Dos resultados precedentes você conclui que esse campo se propaga sem distorção?
Passo 1
Beleza, olha só o que a questão diz: temos um campo ξ que satisfaz
onde
é uma constante. Isso cai no conteúdo de equações de onda e dispersão: a gente vai precisar achar a relação de dispersão (isto é, como a frequência
depende do número de onda
) e ver se a velocidade de fase ou de grupo depende de
. Se depender, dá distorção (dispersão).
Passo 2
Para descobrir a relação de dispersão, a gente supõe uma solução de “onda plana”:
com
constante,
o número de onda e
a frequência angular. Essa suposição é padrão em PDEs lineares: a derivada só traz fatores de
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais dessa solução:
- Segunda derivada temporal:
- Quarta derivada espacial:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na equação original,
Pronto: essa
é a nossa relação de dispersão.
Passo 5
Agora, a gente vê se tem dispersão:
- Velocidade de fase:
que depende de . - Velocidade de grupo:
que também depende de .
Sempre que
ou
varia com
, componentes de onda com diferentes
andam a velocidades diferentes. Isso faz o pacote de ondas “espalhar” no tempo—ou seja, ocorre distorção.
Resposta
Não, o campo não se propaga sem distorção. Como a relação de dispersão
gera velocidades (fase e grupo) que dependem de
, o meio é dispersivo e o pulso se distorce ao longo do percurso.