Suponha um campo 
  com uma equação de propagação igual a 
 , onde 
  é uma dada constante. Essa equação admite uma expressão da forma
 
como uma solução? Em caso afirmativo, qual é o valor de 
 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação de propagação para um campo 
 :
onde 
  é uma constante. Queremos saber se uma solução do tipo
é válida para essa equação e, se for, descobrir o valor de 
 . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como aplicar a forma proposta na equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa 
 . Aqui, 
  é a amplitude, 
  é o número de onda, e 
  é a velocidade de propagação. O sinal 
  indica que a onda pode se mover para a direita ou para a esquerda.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas temporais e espaciais de 
 . Começamos com a derivada primeira em relação ao tempo (
 ):
Agora, a derivada segunda em relação ao tempo:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas espaciais. Primeira derivada em relação a 
 :
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Passo 5
Agora que temos as segundas derivadas, vamos substituir na equação original:
Substituindo:
Passo 6
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 
  (desde que não seja zero):
Agora, vamos resolver para 
 :
Passo 7
Aqui percebemos que, para 
  ser um número real positivo (já que velocidade é real), a constante 
  deve ser negativa. Vamos então escrever:
Resposta
Sim, a função 
  é uma solução da equação dada, e a velocidade 
  é