Suponha um campo xi com uma equação de propagação igual a partial^2 xi / partial t^2=a partial^4 xi / partial x^4, onde a é uma dada constante. Essa equação admite uma expressão da forma
xi=xi0 sen k(x pm v t)
como uma solução? Em caso afirmativo, qual é o valor de v?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação de propagação para um campo xi:
partial^2 xipartial t^2 = a partial^4 xipartial x^4
onde a é uma constante. Queremos saber se uma solução do tipo
xi = xi0 sin(k(x pm vt))
é válida para essa equação e, se for, descobrir o valor de v. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como aplicar a forma proposta na equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa xi = xi0 sin(k(x pm vt)). Aqui, xi0 é a amplitude, k é o número de onda, e v é a velocidade de propagação. O sinal pm indica que a onda pode se mover para a direita ou para a esquerda.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas temporais e espaciais de xi. Começamos com a derivada primeira em relação ao tempo ( t):
partial xipartial t = xi0 cos(k(x pm vt)) cdot (pm vk)
Agora, a derivada segunda em relação ao tempo:
partial^2 xipartial t^2 = -xi0 sin(k(x pm vt)) cdot (vk)^2 = -xi0 v^2 k^2 sin(k(x pm vt))

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas espaciais. Primeira derivada em relação a x:
partial xipartial x = xi0 cos(k(x pm vt)) cdot k
Segunda derivada:
partial^2 xipartial x^2 = -xi0 sin(k(x pm vt)) cdot k^2
Terceira derivada:
partial^3 xipartial x^3 = -xi0 cos(k(x pm vt)) cdot k^3
Quarta derivada:
partial^4 xipartial x^4 = xi0 sin(k(x pm vt)) cdot k^4

Passo 5

Agora que temos as segundas derivadas, vamos substituir na equação original:
partial^2 xipartial t^2 = a partial^4 xipartial x^4
Substituindo:
-xi0 v^2 k^2 sin(k(x pm vt)) = a cdot xi0 k^4 sin(k(x pm vt))

Passo 6

Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por xi0 sin(k(x pm vt)) (desde que não seja zero):
- v^2 k^2 = a k^4
Agora, vamos resolver para v^2:
v^2 = -a k^2

Passo 7

Aqui percebemos que, para v^2 ser um número real positivo (já que velocidade é real), a constante a deve ser negativa. Vamos então escrever:
v = raiz-a , k

Resposta

Sim, a função xi = xi0 sin(k(x pm vt)) é uma solução da equação dada, e a velocidade v é
v = raiz-a , k

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