Suponha um campo
com uma equação de propagação igual a
, onde
é uma dada constante. Essa equação admite uma expressão da forma
como uma solução? Em caso afirmativo, qual é o valor de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação de propagação para um campo
:
onde
é uma constante. Queremos saber se uma solução do tipo
é válida para essa equação e, se for, descobrir o valor de
. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e entender como aplicar a forma proposta na equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é a amplitude,
é o número de onda, e
é a velocidade de propagação. O sinal
indica que a onda pode se mover para a direita ou para a esquerda.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas temporais e espaciais de
. Começamos com a derivada primeira em relação ao tempo (
):
Agora, a derivada segunda em relação ao tempo:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas espaciais. Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Passo 5
Agora que temos as segundas derivadas, vamos substituir na equação original:
Substituindo:
Passo 6
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por
(desde que não seja zero):
Agora, vamos resolver para
:
Passo 7
Aqui percebemos que, para
ser um número real positivo (já que velocidade é real), a constante
deve ser negativa. Vamos então escrever:
Resposta
Sim, a função
é uma solução da equação dada, e a velocidade
é