(2,0 pt) Úma bateria de automóvel còm uma força eletromotriz de 12 V e uma resistência interna de 0,050 \Omega é usada para fornecer 40 A de corrente ao motor de arranque do automóvel. (a) Determine a diférenca de potencial entre os terminais da bateria, a potência dissipada no interior da bateria e a potência fornecida pela bateria. (b) Quanto tempo os elétrons levam para ir da bateria até o motor de arranque? O fio de cobre que liga a bateria ao motor tem 0,85 \mathrm{~m} de comprimento e uma seção reta de 0,21 \mathrm{~cm}^{2}. O número de portadores de carga por unidade de volume do cobre é 8,49 \times 10^{28} \mathrm{~m}^{-3}.

Passo 1

Primeiro vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
\mathcal{E}=12\\ \mathrm{V},\qquad r=0{,}050\\ \Omega,\qquad I=40\\ \mathrm{A},
L=0{,}85\\ \mathrm{m},\qquad A=0{,}21\\ \mathrm{cm}^2,\qquad n=8{,}49\times10^{28}\\ \mathrm{m}^{-3}.
Observação: a carga elementar vale \,e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C} (constante física).
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a diferença de potencial entre os terminais da bateria, a potência dissipada no interior da bateria e a potência fornecida pela bateria.
(b) Determinar quanto tempo os elétrons levam para ir da bateria até o motor de arranque, usando o fio de cobre com comprimento L, seção A e densidade de portadores n.

Passo 2

Resolvendo (a) — diferença de potencial entre os terminais.
Modelo físico rápido: uma bateria ideal com fem \mathcal{E} e resistência interna r fornecendo corrente I tem uma diferença de potencial entre terminais dada por
V_{\text{term}}=\mathcal{E}-I\,r.
Explicação didática: a fem \mathcal{E} é a “fonte” que tende a manter uma diferença de potencial de 12\\ \mathrm{V}; mas ao fornecer corrente, há queda de tensão na resistência interna r igual a I r. Subtraindo essa queda obtemos a tensão medida nos terminais.
Cálculo numérico:
I\,r = 40\times0{,}050 = 2\\ \mathrm{V},
V_{\text{term}}=12-2=10\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Resolvendo (a) — potência dissipada no interior da bateria e potência fornecida pela bateria.
Conceitos e fórmulas:
  • Potência dissipada por um resistor (aqui a resistência interna) é P_{\text{interna}}=I^2 r. Justificativa: potência elétrica é P=V I. No resistor a queda de potencial é V=I r, logo P=I (I r)=I^2 r.
  • Potência fornecida pela bateria (energia por unidade de tempo que a fonte fornece) é P_{\text{fornecida}}=\mathcal{E}\,I. Observação: parte dessa potência vai para o circuito externo e parte se perde na resistência interna.
Cálculos:
P_{\text{interna}}=I^2 r = 40^2\times0{,}050 = 1600\times0{,}050 = 80\\ \mathrm{W}.
P_{\text{fornecida}}=\mathcal{E}\,I = 12\times40 = 480\\ \mathrm{W}.
Verificação rápida (conservação de energia): potência entregue ao motor =V_{\text{term}}I=10\times40=400\\ \mathrm{W}, e de fato 480=400+80.

Passo 4

Resolvendo (b) — tempo que os elétrons levam para ir da bateria até o motor.
Conceito principal: corrente elétrica é a quantidade de carga que passa por uma seção por unidade de tempo. Se n é o número de portadores por volume, e a carga de cada portador e v_d a velocidade de deriva (drift velocity), então a corrente é
I = n\,e\,A\,v_d.
Derivação curta e intuitiva: em um cilindro de comprimento v_d\,\Delta t e área A n\,A\,v_d\,\Delta t elétrons; a carga que passa na seção em \Delta t é n\,e\,A\,v_d\,\Delta t; dividindo por \Delta t obtém-se I.
Isolando v_d:
v_d=\frac{I}{n\,e\,A}.
Passo prático: converter a área para unidades SI.
A=0{,}21\\ \mathrm{cm}^2 = 0{,}21\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 2{,}1\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
Calcular v_d passo a passo (muito cuidado com as potências de 10):
n\,e = \left(8{,}49\times10^{28}\right)\left(1{,}602\times10^{-19}\right) =13{,}60098\times10^{9}=1{,}360098\times10^{10}.
n\,e\,A = 1{,}360098\times10^{10}\times2{,}1\times10^{-5} =2{,}856206\time s10^{5}=2{,}856206\times10^{5}.
(este valor é o denominador numérico para obter v_d em \mathrm{m/s})
Agora:
v_d=\frac{I}{n\,e\,A}=\frac{40}{2{,}856206\times10^{5}}\approx1{,}401\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: os elétrons se deslocam muito lentamente (essa é a velocidade média de deriva), embora a informação elétrica se propague bem mais rápido.
Finalmente, tempo necessário para percorrer o fio de comprimento L:
t=\frac{L}{v_d}=\frac{0{,}85}{1{,}401\times10^{-4}}\approx6{,}07\times10^{3}\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos/hora:
6{,}07\times10^{3}\\ \mathrm{s}\approx101{,}1\\ \mathrm{min}\approx1{,}68\\ \mathrm{h}.
Observação física: os elétrons, na verdade, se movem no sentido oposto à corrente convencional; aqui usei o módulo da velocidade para calcular o tempo.

Resposta

(a) V_{\text{term}}=10\\ \mathrm{V},\;P_{\text{interna}}=80\\ \mathrm{W},\;P_{\text{fornecida}}=480\\ \mathrm{W}
(b) t\approx6{,}07\times10^{3}\\ \mathrm{s}\approx101{,}1\\ \mathrm{min}\\ (\approx1{,}68\\ \mathrm{h})

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