Qual é o valor do campo magnético capaz de fazer um próton com velocidade de 1,0 \times 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s} descrever uma circunferência do tamanho do equador terrestre?

Passo 1

O enunciado pede o valor do campo magnético que faz um próton descrever uma circunferência com o mesmo tamanho do equador terrestre quando sua velocidade é \,1,0\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.\n
Informações relevantes fornecidas ou necessárias:
\text{velocidade } v = 1,0\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}
\text{a circunferência desejada é a do equador terrestre}êé
Constantes que vamos usar (valores padrão):
\text{massa do próton } m_p = 1,67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}ó
\text{carga do próton } q = e = 1,60\times10^{-19}\\ \mathrm{C}ó
Também precisaremos do comprimento do equador terrestre; vou usar
C_{\text{equador}} = 4,0075\times10^{7}\\ \mathrm{m}
Nada mais será assumido sem explicação.

Passo 2

Primeiro encontramos o raio da circunferência que tem o mesmo comprimento do equador. A relação entre comprimento de uma circunferência C e seu raio r é
C = 2\pi r.
Isolando r temos
r = \frac{C}{2\pi}.
Substituindo C_{\text{equador}} = 4,0075\times10^{7}\\ \mathrm{m},
r = \frac{4,0075\times10^{7}}{2\pi}\\ \mathrm{m}.
Agora calculamos o valor numérico (faço passo a passo):
2\pi \approx 6,28319,
r \approx \frac{4,0075\times10^{7}}{6,28319}\\ \mathrm{m}\approx 6,378\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
Portanto o raio da trajetória que queremos é \,r\approx6,378\times10^{6}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Agora relacionamos as forças que mantêm o próton em movimento circular. Para uma partícula de massa m descrevendo movimento circular de raio r com velocidade v, a força centrípeta necessária é
F_{\text{c}}=\frac{m v^{2}}{r}.
Quando a partícula carregada (carga q) move-se perpendicularmente a um campo magnético uniforme B, a força magnética (força de Lorentz em módulo) é
F_{B}=q v B.
Para que a partícula descreva exatamente uma circunferência de raio r com velocidade v, a força magnética deve fornecer a força centrípeta, ou seja
F_{B}=F_{\text{c}}.

Passo 4

Igualando as expressões e isolando B:
q v B = \frac{m v^{2}}{r}.
Simplificando um fator v (assumindo v\neq0),
B = \frac{m v}{q r}.
Aqui cada símbolo significa:
m:\text{ massa do próton (kg)},\quad v:\text{ velocidade (m/s)},\quad q:\text{ carga do próton \text{(C)}},\quad r:\text{ raio da trajetória (m)}.óóó

Passo 5

Substituímos os valores numéricos na fórmula \displaystyle B=\frac{m v}{q r}. Usando m=1,67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}, v=1,0\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}, q=1,60\times10^{-19}\\ \mathrm{C} e r=6,378\times10^{6}\\ \mathrm{m}:
\text{numerador } m v = (1,67\times10^{-27})\times(1,0\times10^{7}) = 1,67\times10^{-20}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
\text{denominador } q r = (1,60\times10^{-19})\times(6,378\times10^{6}) = 1,02048\times10^{-12}\\ \mathrm{C\cdot m}.
Agora dividimos:
B = \frac{1,67\times10^{-20}}{1,02048\times10^{-12}}\\ \mathrm{T}.
Fazendo a divisão dos coeficientes:
\frac{1,67}{1,02048}\approx1,64,
e dos expoentes
10^{-20}/10^{-12}=10^{-8}.
Portanto
B \approx 1,64\times10^{-8}\\ \mathrm{T}.
Como a entrada de dados tem duas casas significativas ( 1,0\times10^{7}), podemos apresentar o resultado com duas cifras:
B \approx 1,6\times10^{-8}\\ \mathrm{T}.

Passo 6

Para ter uma ideia do tamanho desse campo, converto para nanoTesla (nT), lembrando que 1\\ \mathrm{T}=10^{9}\\ \mathrm{nT}:
B \approx 1,6\times10^{-8}\\ \mathrm{T}=1,6\times10^{-8}\times10^{9}\\ \mathrm{nT}=16\\ \mathrm{nT}.
Comentário rápido para te animar: esse campo é bem menor que o campo magnético típico da Terra (da ordem de 10^{-5}\\ \mathrm{T}=10^{4}\\ \mathrm{nT}), por isso é um resultado razoável — precisaria de um campo bem fraco para curvar um próton tão devagar em uma volta tão enorme.

Resposta

B \approx 1,6\times10^{-8}\\ \mathrm{T} (aproximadamente 16\\ \mathrm{nT})

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