A bateria do celular carrega segundo a função:
B(t)=20+15 \sqrt{t}
em que B(t) é a porcentagem de bateria após t horas. Qual é a função da velocidade de carregamento da bateria? Interprete.
Interpretação: No início ( t próximo de 0 ) carrega muito rápido, depois o carregamento vai ficando mais lento.

Passo 1

O enunciado dá a função da porcentagem de bateria em função do tempo:
B(t)=20+15\sqrt{t}
em que B(t) é a porcentagem de bateria após t horas. O que se pede:
  • A função da velocidade de carregamento da bateria (ou seja, a taxa instantânea de variação de B em relação a t).
  • Uma interpretação dessa velocidade (comportamento quando t é pequeno e quando t aumenta).

Passo 2

Entendendo o que significa “função da velocidade de carregamento”: aqui queremos a derivada de B em relação a t, que chamamos de velocidade ou taxa instantânea. A derivada B'(t) nos dá quantos pontos percentuais de bateria a mais (unidade: \% por hora) a bateria ganha por hora no instante t.

Passo 3

Preparar a função para derivar: é mais direto escrever a raiz como potência. Temos
\sqrt{t}=t^{1/2},
portanto podemos reescrever
B(t)=20+15\,t^{1/2}.

Passo 4

Regra de derivação que vamos usar (explicação didática): a regra básica é a regra da potência.
  • Se f(t)=t^{n} com n constante, então a derivada é f'(t)=n\,t^{n-1}.
  • A derivada de uma constante é zero.
  • A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função.
Aqui aplicamos essas regras a B(t).

Passo 5

Derivando passo a passo:
  • Derivada de 20 é 0.
  • Derivada de 15\,t^{1/2} é 15 vezes a derivada de t^{1/2}.
    Usando a regra da potência com n=\tfrac{1}{2}:
\frac{d}{dt}t^{1/2}=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}.
Multiplicando por 15 obtemos
B'(t)=15\cdot \tfrac{1}{2} t^{-1/2}=\tfrac{15}{2}t^{-1/2}.

Passo 6

Reescrevendo a derivada numa forma mais intuitiva com raiz:
t^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{t}},
portanto
B'(t)=\frac{15}{2\sqrt{t}}.
Essa é a função da velocidade de carregamento. Vale para t>0. Em t=0 a expressão não é definida (a derivada tende ao infinito).

Passo 7

Interpretação quantitativa e unidades: B'(t) tem unidade \% por hora. Exemplos numéricos (para você ver como cai a taxa ao longo do tempo):
  • Em t=0{,}25 horas (15 minutos): \sqrt{0{,}25}=0{,}5, então
B'(0{,}25)=\frac{15}{2\cdot 0{,}5}=\frac{15}{1}=15\\ \%/\text{h}.
  • Em t=1 hora:
B'(1)=\frac{15}{2\cdot 1}=7{,}5\\ \%/\text{h}.
  • Em t=4 horas:
B'(4)=\frac{15}{2\cdot 2}=\frac{15}{4}=3{,}75\\ \%/\text{h}.

Passo 8

Comportamento limite e interpretação qualitativa: matematicamente
\lim_{t\to 0^+}B'(t)=+\infty,
ou seja, o modelo diz que a taxa instantânea diverge quando t se aproxima de zero (carregamento muito rápido no início). Para t\to\infty,
B'(t)\to 0,
ou seja, o carregamento fica cada vez mais lento. Observação física: o infinito em t=0 é uma idealização do modelo; na prática a taxa é muito alta logo no início, mas não infinita.

Resposta

\displaystyle B'(t)=\frac{15}{2\sqrt{t}} (unidade: \% por hora)
Interpretação: a taxa de carregamento é muito grande quando t está muito próxima de 0 (modelo indica carga rápida no início) e vai diminuindo conforme t aumenta, ou seja, o carregamento fica progressivamente mais lento.

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