A bateria do celular carrega segundo a função:
em que
é a porcentagem de bateria após
horas. Qual é a função da velocidade de carregamento da bateria? Interprete.
Interpretação: No início (
próximo de 0 ) carrega muito rápido, depois o carregamento vai ficando mais lento.
Interpretação: No início (
Passo 1
O enunciado dá a função da porcentagem de bateria em função do tempo:
em que
é a porcentagem de bateria após
horas. O que se pede:
- A função da velocidade de carregamento da bateria (ou seja, a taxa instantânea de variação de
em relação a ). - Uma interpretação dessa velocidade (comportamento quando
é pequeno e quando aumenta).
Passo 2
Entendendo o que significa “função da velocidade de carregamento”: aqui queremos a derivada de
em relação a
, que chamamos de velocidade ou taxa instantânea. A derivada
nos dá quantos pontos percentuais de bateria a mais (unidade:
por hora) a bateria ganha por hora no instante
.
Passo 3
Preparar a função para derivar: é mais direto escrever a raiz como potência. Temos
portanto podemos reescrever
Passo 4
Regra de derivação que vamos usar (explicação didática): a regra básica é a regra da potência.
- Se
com constante, então a derivada é . - A derivada de uma constante é zero.
- A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função.
Aqui aplicamos essas regras a
.
Passo 5
Derivando passo a passo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é vezes a derivada de .
Usando a regra da potência com:
Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Reescrevendo a derivada numa forma mais intuitiva com raiz:
portanto
Essa é a função da velocidade de carregamento. Vale para
. Em
a expressão não é definida (a derivada tende ao infinito).
Passo 7
Interpretação quantitativa e unidades:
tem unidade
por hora. Exemplos numéricos (para você ver como cai a taxa ao longo do tempo):
- Em
horas (15 minutos): , então
- Em
hora:
- Em
horas:
Passo 8
Comportamento limite e interpretação qualitativa: matematicamente
ou seja, o modelo diz que a taxa instantânea diverge quando
se aproxima de zero (carregamento muito rápido no início). Para
,
ou seja, o carregamento fica cada vez mais lento. Observação física: o infinito em
é uma idealização do modelo; na prática a taxa é muito alta logo no início, mas não infinita.
Resposta
Interpretação: a taxa de carregamento é muito grande quando