O que o enunciado pede: demonstrar a equivalência entre as duas afirmações abaixo:
\lim_{x\to p}\frac{f(x)}{x-p}=0
e
\lim_{x\to p}\frac{f(x)}{|x-p|}=0.
Informações dadas (implícitas no enunciado): f é uma função definida numa vizinhança de p, possivelmente não definida em p; todas as expressões são consideradas para x\neq p. A tarefa é provar que a primeira afirmação é verdadeira se, e somente se, a segunda também é verdadeira.
Passo 2
Relembrando a definição precisa que vamos usar (epsilon–delta), de forma bem direta e intuitiva: dizer que
\lim_{x\to p} g(x)=0
significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-p|<\delta, vale |g(x)|<\varepsilon. Vou usar essa definição para g(x)=\dfrac{f(x)}{x-p} e para g(x)=\dfrac{f(x)}{|x-p|}.
Passo 3
Uma observação algebraica simples que vai ser o núcleo da prova: para x\neq p temos a relação
Essa igualdade de valores absolutos significa que as duas funções têm exatamente a mesma magnitude para cada x\neq p. Isso já indica fortemente que elas têm o mesmo comportamento de tender a 0.
Passo 5
Prova da implicação direta: \displaystyle \lim_{x\to p}\frac{f(x)}{x-p}=0 \Rightarrow \lim_{x\to p}\frac{f(x)}{|x-p|}=0.
Seja \varepsilon>0. Pela definição de limite, se \lim_{x\to p}\dfrac{f(x)}{x-p}=0 então existe \delta>0 tal que, para todo x com 0<|x-p|<\delta, temos
\left|\frac{f(x)}{x-p}\right|<\varepsilon.
Pelo passo anterior, \left|\dfrac{f(x)}{|x-p|}\right|=\left|\dfrac{f(x)}{x-p}\right|. Logo, para os mesmos x vale \left|\dfrac{f(x)}{|x-p|}\right|<\varepsilon. Assim, pela definição de limite, \displaystyle \lim_{x\to p}\dfrac{f(x)}{|x-p|}=0. (Fim da primeira implicação.)
Passo 6
Prova da implicação recíproca: \displaystyle \lim_{x\to p}\frac{f(x)}{|x-p|}=0 \Rightarrow \lim_{x\to p}\frac{f(x)}{x-p}=0.
O argumento é simétrico ao anterior. Seja \varepsilon>0. Pela hipótese de que \lim_{x\to p}\dfrac{f(x)}{|x-p|}=0, existe \delta>0 tal que, para todo x com 0<|x-p|<\delta,
\left|\frac{f(x)}{|x-p|}\right|<\varepsilon.
Usando novamente a igualdade de valores absolutos do passo 4, temos \left|\dfrac{f(x)}{x-p}\right|=\left|\dfrac{f(x)}{|x-p|}\right|<\varepsilon para os mesmos x. Portanto \displaystyle \lim_{x\to p}\dfrac{f(x)}{x-p}=0. (Fim da segunda implicação.)
Passo 7
Comentário intuitivo e alternativa por sequências (opcional, para fixar ideia): se para toda sequência x_n\to p com x_n\neq p a sequência f(x_n)/(x_n-p)\to 0, então pela relação f(x_n)/|x_n-p| = s(x_n)\, f(x_n)/(x_n-p) (com s(x_n)=\pm1) também tende a 0, porque multiplicar por \pm1 não altera a convergência a 0. A recíproca é análoga. Isso é a mesma ideia das provas por epsilon–delta, só reescrita com sequências.
Passo 8
Resumo pedagógico final (sem repetir formalmente a resposta): a chave foi observar que, para x\neq p, as duas frações diferem apenas por um fator de sinal s(x)\in\{-1,1\}, e que as suas magnitudes são idênticas. Como multiplicar por \pm1 não impede que uma quantidade vá a 0, as duas afirmações de limite são equivalentes.