Demonstre os itens abaixo:
\lim _{x \rightarrow p} f(x) \neq L \Leftrightarrow \lim _{x \rightarrow p}|f(x)-L| \neq 0 .

Passo 1

O enunciado pede que a gente demonstre a equivalência
\lim_{x\to p} f(x)\neq L \Leftrightarrow \lim_{x\to p}|f(x)-L|\neq 0.
Informações dadas e objetivo: temos uma função f, um ponto p (ponto de acumulação do domínio de f) e um número L. Precisamos mostrar que o fato de o limite de f(x) quando x\to p não ser L é logicamente equivalente ao fato de o limite de |f(x)-L| quando x\to p não ser 0. Ou seja, mostrar que as duas negações ocorrem exatamente nas mesmas situações.

Passo 2

Vou lembrar a definição precisa de limite que vamos usar (definição é a ferramenta principal aqui).
Definição de \lim_{x\to p} f(x)=L: significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que}\\\ 0<|x-p|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon é a margem que queremos para a diferença em saída, e \delta é a margem em x que garante essa diferença.
Definição de \lim_{x\to p} |f(x)-L|=0: significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que}\\\ 0<|x-p|<\delta\Rightarrow \big||f(x)-L|-0\big|<\varepsilon.
Mas \big||f(x)-L|-0\big|=|f(x)-L|. Então a definição fica
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que}\\\ 0<|x-p|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.
Observação simples (muito útil): as duas definições acima usam exatamente a mesma expressão |f(x)-L|<\varepsilon como condição na conclusão.

Passo 3

Agora faço a prova direta da equivalência positiva (não-negada):
Mostro que
\lim_{x\to p} f(x)=L \iff \lim_{x\to p} |f(x)-L|=0.
Prova do lado \Rightarrow: suponha \lim_{x\to p} f(x)=L. Pela definição, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|x-p|<\delta implica |f(x)-L|<\varepsilon. Mas essa condição é exatamente a condição exigida para \lim_{x\to p}|f(x)-L|=0. Logo \lim_{x\to p}|f(x)-L|=0.
Prova do lado \Leftarrow: suponha \lim_{x\to p}|f(x)-L|=0. Então, pela definição, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|x-p|<\delta implica |f(x)-L|<\varepsilon. Essa é exatamente a condição da definição de \lim_{x\to p} f(x)=L. Logo \lim_{x\to p} f(x)=L.
Portanto concluímos que as duas afirmações são equivalentes:
\lim_{x\to p} f(x)=L \iff \lim_{x\to p} |f(x)-L|=0.

Passo 4

Agora passo para a negação: há um princípio lógico simples que diz que se A\iff B então \neg A \iff \neg B. Aplicando isso ao resultado do passo anterior com A sendo “ \lim_{x\to p} f(x)=L” e B sendo “ \lim_{x\to p}|f(x)-L|=0”, obtemos
\neg\big(\lim_{x\to p} f(x)=L\big)\iff \neg\big(\lim_{x\to p} |f(x)-L|=0\big).
Em outras palavras,
\lim_{x\to p} f(x)\neq L \iff \lim_{x\to p} |f(x)-L|\neq 0.

Passo 5

Para quem gosta da forma “epsilon–delta” da negação, eu mostro explicitamente a negação de uma definição para ficar claro como se vê que as duas negações coincidem.
Negação de “ \lim_{x\to p} f(x)=L”: existe \varepsilon>0 tal que para todo \delta>0 existe x com 0<|x-p|<\delta e |f(x)-L|\ge\varepsilon.
Negação de “ \lim_{x\to p}|f(x)-L|=0”: existe \varepsilon>0 tal que para todo \delta>0 existe x com 0<|x-p|<\delta e |\,|f(x)-L|-0\,|\ge\varepsilon. Mas |\,|f(x)-L|-0\,|=|f(x)-L|. Logo as duas negações são literalmente idênticas. Isso mostra diretamente, sem usar o princípio lógico, que
\lim_{x\to p} f(x)\neq L \iff \lim_{x\to p} |f(x)-L|\neq 0.

Resposta

\lim_{x\to p} f(x)\neq L \Leftrightarrow \lim_{x\to p}|f(x)-L|\neq 0.

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