Temperatura do Café. O café esfria seguindo a função:
T(t)=25+55 e^{-0.1 t}
na qual T(t) é a temperatura em { }^{\circ} C após t minutos. Encontre a função da taxa de resfriamento do café. Interprete.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura do café em função do tempo:
T(t)=25+55e^{-0,1t},
onde T(t) está em ^{\circ}C e t em minutos. As perguntas são: (1) encontrar a função da taxa de resfriamento (ou seja, a derivada da temperatura em relação ao tempo) e (2) interpretar o resultado fisicamente.

Passo 2

Primeiro vamos entender o que significa “taxa de resfriamento”: é a derivada \displaystyle T'(t)=\frac{dT}{dt}. Essa derivada diz quantos graus Celsius a temperatura do café está mudando por minuto, em cada instante t. As unidades serão ^{\circ}C/\text{min}. Se \displaystyle T'(t) for negativo, a temperatura está diminuindo (esfriando); se for positivo, está aumentando.

Passo 3

Relembrando a regra de derivação que vamos usar: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, a derivada de uma constante é zero, e a derivada de uma exponencial composta segue a regra da cadeia. Em termos simples:
  • \displaystyle \frac{d}{dt}[a]=0 para constante a.
  • Se u(t) é uma função, \displaystyle \frac{d}{dt}e^{u(t)}=u'(t)\,e^{u(t)}.
    Exemplo rápido para fixar: \displaystyle \frac{d}{dt}e^{3t}=3e^{3t}, porque aqui u(t)=3t e u'(t)=3.

Passo 4

Aplique essas regras em T(t)=25+55e^{-0,1t}.
  • A derivada de 25 é 0.
  • Para 55e^{-0,1t}, trate 55 como constante multiplicativa e use a regra da cadeia com u(t)=-0,1t. Então u'(t)=-0,1.
    Portanto
T'(t)=0+55\cdot(-0,1)\,e^{-0,1t}.
Calcule 55\cdot(-0,1):
55\cdot(-0,1)=-5,5.
Logo a função da taxa de resfriamento é
T'(t)=-5,5\,e^{-0,1t}.

Passo 5

Interprete matematicamente e fisicamente:
  • O sinal negativo mostra que a temperatura está diminuindo em todos os instantes — ou seja, o café está esfriando.
  • O valor absoluto |T'(t)|=5,5\,e^{-0,1t} é a velocidade de resfriamento (quantos ^{\circ}C por minuto está caindo). Esse valor decresce com t porque o fator exponencial e^{-0,1t} decai.
  • Avaliando no início ( t=0):
T'(0)=-5,5\,e^{0}=-5,5\quad(^{\circ}C/\text{min}),
ou seja, no instante inicial o café está perdendo 5,5\;^{\circ}C por minuto — bem rápido no começo.
  • No limite quando t\to\infty,
\lim_{t\to\infty}T'(t)=-5,5\lim_{t\to\infty}e^{-0,1t}=0,
o que significa que o resfriamento vai ficando cada vez mais lento e tende a zero quando a temperatura se aproxima do ambiente ( 25\,^{\circ}C).

Passo 6

Uma observação adicional (útil na prova): a segunda derivada
T''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(-5,5e^{-0,1t}\bigr)=-5,5\cdot(-0,1)\,e^{-0,1t}=0,55\,e^{-0,1t}>0.
Isso mostra que T'(t) é crescente (aumenta com o tempo) — lembrando que T'(t) é negativo, “aumentar” aqui significa tornar-se menos negativo: o resfriamento desacelera com o tempo.

Resposta

\displaystyle T'(t)=-5,5\,e^{-0,1t}\quad(^{\circ}C/\text{min})
Interpretação: a taxa é negativa (o café esfria); no instante inicial a perda de temperatura é -5,5\;^{\circ}C/\text{min} e, conforme t aumenta, a magnitude da taxa decresce (o resfriamento desacelera), tendendo a 0 quando a temperatura se aproxima de 25\,^{\circ}C.

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