Temperatura do Café. O café esfria seguindo a função:
na qual
é a temperatura em
após
minutos. Encontre a função da taxa de resfriamento do café. Interprete.
Passo 1
O enunciado dá a temperatura do café em função do tempo:
onde
está em
e
em minutos. As perguntas são: (1) encontrar a função da taxa de resfriamento (ou seja, a derivada da temperatura em relação ao tempo) e (2) interpretar o resultado fisicamente.
Passo 2
Primeiro vamos entender o que significa “taxa de resfriamento”: é a derivada
. Essa derivada diz quantos graus Celsius a temperatura do café está mudando por minuto, em cada instante
. As unidades serão
. Se
for negativo, a temperatura está diminuindo (esfriando); se for positivo, está aumentando.
Passo 3
Relembrando a regra de derivação que vamos usar: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, a derivada de uma constante é zero, e a derivada de uma exponencial composta segue a regra da cadeia. Em termos simples:
-
para constante . - Se
é uma função, .
Exemplo rápido para fixar:, porque aqui e .
Passo 4
Aplique essas regras em
.
- A derivada de
é . - Para
, trate como constante multiplicativa e use a regra da cadeia com . Então .
Portanto
Calcule
:
Logo a função da taxa de resfriamento é
Passo 5
Interprete matematicamente e fisicamente:
- O sinal negativo mostra que a temperatura está diminuindo em todos os instantes — ou seja, o café está esfriando.
- O valor absoluto
é a velocidade de resfriamento (quantos por minuto está caindo). Esse valor decresce com porque o fator exponencial decai. - Avaliando no início (
):
ou seja, no instante inicial o café está perdendo
por minuto — bem rápido no começo.
- No limite quando
,
o que significa que o resfriamento vai ficando cada vez mais lento e tende a zero quando a temperatura se aproxima do ambiente (
).
Passo 6
Uma observação adicional (útil na prova): a segunda derivada
Isso mostra que
é crescente (aumenta com o tempo) — lembrando que
é negativo, “aumentar” aqui significa tornar-se menos negativo: o resfriamento desacelera com o tempo.
Resposta
Interpretação: a taxa é negativa (o café esfria); no instante inicial a perda de temperatura é