Uma bateria é ligada a um circuito RL série no instante t=0. Para qual múltiplo de tau L a corrente atinge um valor 0,100 % menor que o valor final?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma bateria que conecta a um circuito série com uma indutância (RL) no instante $ t = 0 $. O que queremos descobrir é em qual múltiplo da constante de tempo $ \tau_L $ a corrente chega a um valor que é 0,100% menor que o valor final dela. Ou seja, estamos trabalhando com circuitos RL e queremos calcular esse múltiplo usando as fórmulas que a gente tem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é que a corrente $ I(t) $ varia no tempo num circuito RL série. A fórmula que descreve isso é:
I(t)
Onde:
  • $ I_{final} $ é a corrente máxima que o circuito atinge no estado estacionário.
  • $ \tau_L $ é a constante de tempo do circuito, que é igual a $ \frac{L}{R} $, onde $ L $ é a indutância e $ R $ é a resistência.

Passo 3

A gente quer encontrar o tempo $ t $ em que a corrente atinge um valor que é 0,100% menor que o valor final. Isso significa que:
t
Então, substituindo na fórmula da corrente:
I(t) = Ifinal - 0,001 times Ifinal = 0,999 times Ifinal

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação. Dividimos ambos os lados por $ I_{final} $:
Ifinal
Rearranjando para isolar o termo exponencial:
0,999 = 1 - e^-ttauL

Passo 5

Para resolver para $ t $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
t
Sabemos que $ \ln(0,001) $ é aproximadamente $ -6,907755 $, então:
-ttauL = ln(0,001)

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por $ \tau_L $:
tauL
Portanto, o tempo $ t $ é aproximadamente 6,907755 vezes a constante de tempo $ \tau_L $.

Resposta

A corrente atinge um valor 0,100% menor que o valor final no múltiplo $ t = 6,907755 , \tau_L $.

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